[論文レビュー] Knot invariants and higher representation theory I: diagrammatic and geometric categorification of tensor products

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 87

ひとこと要約

本稿は、可約でない表現のテンソル積の図式的・幾何的 categorificationを、一般化された循環的クイバーヘッケ代数を用いて構築し、得られた圏のグロテンディーク群がテンソル積表現を実現することを証明する。主な貢献は、これらの圏がカフノフ＝ローダーの意味でテンソル積の categorification であることを確立したことであり、これには絡み homology への応用および型 A における放棄的 category O および循環的 q-シュール代数との関係が含まれる。

ABSTRACT

In this paper, we study 2-representations of 2-quantum groups (in the sense of Rouquier and Khovanov-Lauda) categorifying tensor products of irreducible representations. Our aim is to construct knot homologies categorifying Reshetikhin-Turaev invariants of knots for arbitrary representations, which will be done in a follow-up paper. We consider an algebraic construction of these categories, via an explicit diagrammatic presentation, generalizing the cyclotomic quotient of the quiver Hecke algebra. One of our primary results is that these categories coincide when both are defined. We also investigate finer structure of these categories. Like many similar representation-theoretic categories, they are standardly stratified and satisfy a double centralizer property with respect to their self-dual modules. The standard modules of the stratification play an important role, as Vermas do in more classical representation theory, as test objects for functors. The existence of these representations has consequences for the structure of previously studied categorifications; it allows us to prove the non-degeneracy of Khovanov and Lauda's 2-category (that its Hom spaces have the expected dimension) in all symmetrizable types, and that the cyclotomic quiver Hecke algebras are symmetric Frobenius.

研究の動機と目的

• 2量子群の 2表現を構成し、そのことで $U_q(\mathfrak{g})$ の既約表現のテンソル積を categorify すること。
• 一般化された循環的クイバーへッケ代数を用いて、これらの categorification の図式的および代数的記述を与えること。
• これらの圏と古典的表現論的対象（特に型 A における放棄的 category O および循環的 q-シュール代数）との関係を確立すること。
• カフノフ＝ローダーの 2圏の非退化性および循環的クイバーへッケ代数の対称的フロベニウス性を証明すること。
• 今後の研究において絡み homology を構成するための基礎的枠組みを整えること。

提案手法

• 本稿は、リー代数 $\sigma$ および多項式 $Q_{ij}$ の選択にパrameter化された、循環的クイバーへッケ代数の一般化として代数 $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ を定義する。
• 有限次元 $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$-加群の圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ を構成し、これが 2量子群 $\Sigma$ の 2表現を担うことが示される。
• $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ のグロテンディーク群が、自然にテンソル積 $V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_\ell}$ に同型であることを証明し、categorification を確立する。
• 型 A（$\mathfrak{sl}_n$）において、圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ が $\mathfrak{gl}_k$ の放棄的 category O の完全な部分圏に、モリタ同倣を介して同値であることが示される。
• 本稿は、$T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ が標準的ストラティファイドであり、その自己双対モジュールに関して二重中心化性質を満たすことを証明する。
• $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ が Koszul であり、category O における既知の次数構造と整合する次数付きの持ち上げが 2表現に可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可約でない Kac-Moody代数に対して、$U_q(\mathfrak{g})$ の既約表現のテンソル積を図式的および代数的構成によりどのように categorify できるか。
• RQ2 構築された圏と、型 A における放棄的 category O や循環的 q-シュール代数といった古典的表現論的対象との正確な関係は何か。
• RQ3 カフノフとローダーが定義した 2圏は非退化な categorification を持つか。また、代数 $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ は期待されるホモロジー空間の次元を持つのか。
• RQ4 圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ の標準的モジュールおよび自己双対モジュールはどのように振る舞い、圏の構造において果たす役割は何か。
• RQ5 圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ 上の 2表現は、category O における既存の次数構造と整合する次数付き作用に持ち上げられるか。

主な発見

• 圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ はテンソル積 $V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_\ell}$ の categorification であり、そのグロテンディーク群はこの表現の整数形式に自然に同型である。
• 型 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合、圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ は $\mathfrak{gl}_k$ の放棄的 category O の完全な部分圏に、モリタ同倣を介して同値である。
• $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ は標準的ストラティファイドであり、非可約的射影的・インジェクティブモジュールの和は二重中心化性質を満たす。
• 型 $\mathfrak{g} = \widehat{\mathfrak{sl}}_n$ の場合、圏 $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ は特定の射影的モジュールによって生成される循環的 $q$-シュール代数の部分圏に同値である。
• $T^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ は Koszul であり、2表現は category $\mathcal{O}$ の次数構造と整合する次数付き持ち上げを持つ。
• 2圏 $\mathcal{U}$ は $\Pi^{\boldsymbol{\tilde{\boldsymbol{\nu}}}}$ 上に、双随伴となるファンクターを介して作用し、有限型単純ループ型の場合に正規基底を実現する。