[論文レビュー] Lower bounds on the size of semidefinite programming relaxations

James R. Lee, Prasad Raghavendra+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カット、TSP、安定集合多面体を含む明示的な多面体に対する、最初の超多項式的下界を、半定値プログラミング（SDP）の拡張複雑度について確立する。これらは、ある $ heta > 0$ に対して、少なくとも $2^{n^{ heta}}$ のサイズのスペクトラヒドロンを必要とする。また、Max 3-SAT に対して、多項式サイズのSDP緩和は $7/8$-近似を超えることはできないことが示され、Max-CSPs に対しては、低次の和の平方（SOS）緩和が、すべての多項式サイズのSDP族の中で最適であることが証明される。

ABSTRACT

We introduce a method for proving lower bounds on the efficacy of semidefinite programming (SDP) relaxations for combinatorial problems. In particular, we show that the cut, TSP, and stable set polytopes on $n$-vertex graphs are not the linear image of the feasible region of any SDP (i.e., any spectrahedron) of dimension less than $2^{n^c}$, for some constant $c > 0$. This result yields the first super-polynomial lower bounds on the semidefinite extension complexity of any explicit family of polytopes. Our results follow from a general technique for proving lower bounds on the positive semidefinite rank of a matrix. To this end, we establish a close connection between arbitrary SDPs and those arising from the sum-of-squares SDP hierarchy. For approximating maximum constraint satisfaction problems, we prove that SDPs of polynomial-size are equivalent in power to those arising from degree-$O(1)$ sum-of-squares relaxations. This result implies, for instance, that no family of polynomial-size SDP relaxations can achieve better than a 7/8-approximation for MAX-3-SAT.

研究の動機と目的

• NP困難な組合せ最適化問題に対する半定値プログラミング（SDP）緩和のパワーを、線形プログラミング（LP）緩和と比較して理解するギャップを埋める。
• カット、TSP、安定集合多面体といった基本的な多面体に対する、半定値プログラミング緩和（すなわち、スペクトラヒドロンのリフト）のサイズに対する強い下界を確立する。
• Max 3-SAT に対して、多項式サイズのSDP緩和は、任意のSDP定式化を許容しても、定数因子近似（例：Max 3-SAT では 7/8）を上回ることはできないことを示す。
• 任意の多項式サイズのSDP族に対して、低次の和の平方（SOS）緩和が最適であることを、任意のSDPをSOS階層に結びつけることで証明する。
• 量子情報理論と擬似密度学習の接続を用いて、正定値行列ランクの下界を証明する一般的手法を開発する。

提案手法

• 量子エントロピー最大化と行列乗法的重み更新法を用いて、任意の小サイズのSDP緩和を低次の和の平方（SOS）緩和に結びつける、新しいフレームワークを導入する。
• 正定値行列ランクとジャンプ（低次の関数）による近似の次数の関係を用いて、SDP定式化の複雑さの下界を確立する。
• 特に擬似密度と量子学習の概念を用いた、量子情報理論の技術を応用し、高次のSDPランクを証明する分離関数を構築する。
• 次数低減の議論を用いて、任意の小サイズのSDP緩和が低次のSOS緩和で近似可能であることを示し、Max-CSPs におけるSOSの最適性を証明する。
• SDP緩和の整数性ギャップと、一意的ゲーム予想（Unique Games Conjecture）における近似困難性の等価性を用いて、強い下界を導出する。
• 非負行列ランクの下界を示すために、ラップソイド一意的不交和問題の一般化を用い、双対性と因子分解技術を介して、正定値行列ランクに転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カット、TSP、安定集合多面体といった基本的な組合せ的多面体に対して、半定値プログラミング緩和のサイズに関する超多項式的下界を証明できるか？
• RQ2 Max 3-SAT のようなMax-CSPs に対して、多項式サイズのSDP緩和が達成可能な近似品質に、根本的な限界があるか？
• RQ3 Max-CSPs に対して、低次の和の平方緩和が、すべての多項式サイズのSDP族の中で最適であるか？
• RQ4 擬似密度学習の文脈において、行列の正定値行列ランクとジャンプによる近似の次数の関係は何か？
• RQ5 和の平方階層を用いて、すべての多項式サイズのSDP緩和の計算的パワーを特徴づけられるか？

主な発見

• n 頂点グラフ上のカット、TSP、安定集合多面体は、ある $\theta > 0$ に対して、少なくとも $2^{n^{ heta}}$ のサイズのスペクトラヒドロンリフトを必要とし、半定値拡張複雑度に対する最初の超多項式的下界を確立する。
• Max 3-SAT に対して、多項式サイズのSDP緩和族は、$7/8$-近似を超えることはできない。これは、小さなSDPによるより良い近似が不可能である根本的障壁を示している。
• すべてのMax-CSPs に対して、低次の和の平方緩和は、すべての多項式サイズのSDP族の中で最適であり、他のSDP定式化ではより良い近似比を達成できない。
• 任意の小サイズのSDP緩和は、定数次の和の平方緩和で近似可能であり、一般のSDPと低次のSOS緩和の間で近似の観点から等価であることを証明する。
• 一意的不交和問題に関連する行列の非負行列ランクは、$\left(\frac{cn}{m^3 \log n}\right)^{m/2}$ 以上である。これは、一意的ゲーム問題に対するLP緩和の複雑さに関する強い下界を示唆する。
• 正定値行列ランクの下界を証明する一般的手法を開発し、ジャンプによる近似の次数と接続し、擬似密度や行列乗法的重みといった量子情報理論的道具を用いる。