[論文レビュー] Non-compact Torsion Free Ball Quotients

Азнив Каспарян|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、SU(n,1) 内の torsion-free ラティス G による球面商 B/G のトロイダルコンパクト化 X' の基本群が、G(U) と呼ばれる G の部分群に同型であることを確立する。ここで G(U) は、G-有理境界点における G とその単位的部分群の交差によって生成される部分群である。その結果、X' の一次整数ホモロジー群は、B/G の一次整数ホモロジー群を有限群で商取ったものとなり、SU(n,1) ラティスの残余有限性を応用して、コンパクト化の除集合上での分岐指数が任意に大きな無限分岐被覆を構成できる。

ABSTRACT

Let B be the complex n-dimensional ball and X' be the toroidal compactification of a quotient B/G by a torsion free lattice G of SU(n,1). For an arbitrary G-rational boundary point p, denote by U(p) the commutant of the unipotent radical of the stabilizer of p in SU(n,1) and put G(U) for the subgroup of G, generated by the intersections of G with U(p) for all G-rational boundary points p. The present note establishes that the fundamental group of X' is isomorphic to the quotient G / G(U). As a consequence, the first integral homology group of X' turns to be a quotient of the first integral homology group of B/G by a finite group. The work shows that for any natural number N, there is a normal subgroup G(N) of G of finite index, such that the unramified covering of B/G by B/G(N), induced by the identity of the ball B extends to a covering of the corresponding toroidal compactifications with ramification index greater than N over the toroidal compactifying divisor of B/G(N). The argument exploits the residual finiteness of the lattices in SU(n,1). In the case of a complex dimension 2, the geometric genus of X' equals 1. If X' is not of general type, then the irregularity of X' does not exceed 2 and equals 2 only when X' is birational to an abelian surface. The torsion free surfaces X' of minimal volume are characterized by the Kodaira-Enriques classification types of their minimal models, as well as by lower and upper bounds on the number of the cusps.

研究の動機と目的

• SU(n,1) 内の torsion-free ラティス G による商 B/G のトロイダルコンパクト化 X' の基本群を特定すること。
• X' の一次整数ホモロジー群の構造を解析し、非コンパクト商 B/G のホモロジーとの関係を明らかにすること。
• コンパクト化の被覆が、トロイダル除集合上での分岐指数が任意の与えられた N よりも大きいように、G の有限指数正規部分群 G(N) を構成すること。
• Kodaira-Enriques 分類とキューピュ数を用いて、最小体積の torsion-free 球面商表面 X' の最小モデルを分類すること。
• X' が幾何的種数 1 かつ不正則性 ≤ 2 である条件を特定し、特に X' がアーベル表面に双有理同型である場合を同定すること。

提案手法

• G-有理境界点 p における G の安定化部分群の単位的部分群の可換束を U(p) と定義し、すべての such p に対して G ∩ U(p) を用いて G(U) を G の部分群として構成する。
• 同型 G / G(U) ≅ π₁(X') を用いて、コンパクト化の基本群をラティス構造に関連付ける。
• SU(n,1) ラティスの残余有限性を活用し、被覆 B/G(N) → B/G がトロイダルコンパクト化に拡張可能となる有限指数正規部分群 G(N) を構成する。
• 拡張された被覆の分岐性を解析し、N を十分に大きく選べば、トロイダル除集合上での分岐指数を任意に大きくできることを示す。
• Kodaira-Enriques 分類を適用して、最小体積の表面 X' の最小モデルを特徴づけ、キューピュ数の上限・下限を用いる。
• 幾何的種数と不正則性不変量を用いて、p_g = 1 かつ q ≤ 2 を満たす表面 X' を分類し、特に X' がアーベル表面に双有理同型である場合を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(n,1) 内の torsion-free ラティス G による球面商 B/G のトロイダルコンパクト化 X' の基本群は何か？
• RQ2 X' の一次整数ホモロジー群は、非コンパクト商 B/G のそれとどのように関係するか？
• RQ3 コンパクト化の除集合上での分岐指数が任意に大きな有限被覆を、B/G の被覆として構成できるか？
• RQ4 最小体積の torsion-free 球面商表面 X' の最小モデルの Kodaira-Enriques 型は何か？
• RQ5 X' が幾何的種数 1 かつ不正則性 ≤ 2 である条件は何か？また、X' がアーベル表面に双有理同型であるのはいつか？

主な発見

• X' の基本群は、G / G(U) に同型であり、ここで G(U) は G-有理境界点における単位的部分群の可換束との交差によって生成される G の部分群である。
• X' の一次整数ホモロジー群は、B/G の一次整数ホモロジー群を有限群で商取ったものである。
• 任意の自然数 N に対して、G の有限指数正規部分群 G(N) が存在し、被覆 B/G(N) → B/G がトロイダルコンパクト化に拡張され、コンパクト化の除集合上での分岐指数が N よりも大きくなる。
• 複素次元 2 の場合、X' の幾何的種数は正確に 1 である。
• X' が一般型でない場合、その不正則性は最大で 2 であり、2 に等しいのは X' がアーベル表面に双有理同型である場合に限る。
• 最小体積の torsion-free 表面 X' は、Kodaira-Enriques 分類型によって特徴づけられ、キューピュ数に明示的な下限と上限が与えられる。