[論文レビュー] On Fixed-point theorems in Intuitionistic Fuzzy metric Space I

T. K. Samanta, Sumit Mohinta|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 intuitionistic fuzzy metric space (IFMS) における TS-IF contractive mapping が一意な不動点を持つための十分条件を2セット確立し、$(\varepsilon,\lambda)$-IF-uniformly locally contractive mappings および $\eta$-chainable spaces の概念を導入して、それらの写像が不動点を有することを証明している。主な貢献は、Cauchy 列であることを事前に仮定しない、IFMS におけるきめ細やかな不動点定理であり、t-norm と t-conorm を用いて近接性と非近接性を定義することで、近接性の度合いを扱うものである。

ABSTRACT

In this paper, first we have established two sets of sufficient conditions for a TS-IF contractive mapping to have unique fixed point in a intuitionistic fuzzy metric space. Then we have defined \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping and \,$η\,-$\,chainable space, where it has been proved that the \,$(\,ε\,,\, λ\,)$\, IF-uniformly locally contractive mapping possesses a fixed point

研究の動機と目的

• TS-IF contractive mapping の下で、intuitionistic fuzzy metric space (IFMS) に一意な不動点が存在するための十分条件を確立すること。
• IFMS における $(\varepsilon,\lambda)$-IF-uniformly locally contractive mappings および $\eta$-chainable spaces の定義と分析を行うこと。
• 収縮列が Cauchy であると仮定しない状況でも、その写像が不動点を有することを証明すること。
• より自然な収縮定義を用いて、intuitionistic fuzzy metric spaces の文脈で Banach 不動点定理を一般化すること。

提案手法

• t-norm と t-conorm を用いて、点間の近接性（$\mu$）と非近接性（$\nu$）の度合いをモデル化する TS-IF contractive mapping を定義する。
• 連続的 t-norm $\ast$ と t-conorm $\diamond$ を用い、IFMS における度々の性質を満たすようにする。
• 反復列 $\{T^n x\}$ を構築し、$j < k$, $t > 0$, およびある $\varepsilon \in (0,1)$ に対して $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ および $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$ を示すことにより、それが Cauchy 列であることを証明する。
• IFMS が完備であることと、$\mu$ と $\nu$ が $t$ 変数に関して連続であることから、$\{T^n x\}$ が極限 $\xi$ に収束することを証明する。
• $T$ が t-一様連続であることを示し、$T\xi = \lim T^{n+1}x = \xi$ が成り立つことから、$\xi$ が不動点であることを示す。
• $\eta$-chainable spaces と $(\varepsilon,\lambda)$-IF-uniformly locally contractive mappings を導入し、これらの条件下で不動点が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 TS-IF contractive mapping が intuitionistic fuzzy metric space に一意な不動点を持つための条件は何か？
• RQ2 従来の研究とは異なり、収縮列が Cauchy であると仮定しないで、不動点定理を確立できるか？
• RQ3 $\eta$-chainable spaces は、IFMS における局所的収縮写像の不動点の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 t-norm と t-conorm の性質は、intuitionistic fuzzy metric spaces における反復列の収束にどのように影響するか？
• RQ5 $(\varepsilon,\lambda)$-IF-uniformly locally contractive mappings の概念を用いて、IFMS における Banach 不動点定理を一般化できるか？

主な発見

• 反復列 $\{T^n x\}$ が事前に Cauchy であると仮定しない状況でも、$t > 0$ および $j < k$ に対して $\mu(T^j x, T^k x, t) > \varepsilon$ および $\nu(T^j x, T^k x, t) < 1 - \varepsilon$ を示すことにより、IFMS において Cauchy であることが証明された。ここで $\varepsilon \in (0,1)$ である。
• 完備な IFMS において、空間の完備性と $\mu$ および $\nu$ の $t$ 変数に関する連続性のおかげで、列 $\{T^n x\}$ は極限 $\xi$ に収束する。
• 写像 $T$ が t-一様連続であることが示され、これにより極限 $\xi$ に対して $T\xi = \xi$ が成り立つことが示され、$\xi$ が不動点であることが証明された。
• $\eta$-chainable 空間における $(\varepsilon,\lambda)$-IF-uniformly locally contractive mapping に対しては、反復列の収束を用いて不動点の存在が確立された。
• 従来の手法とは異なり、収縮列が Cauchy であると仮定しないで、$\mu$ と $\nu$ の t-norm と t-conorm における構造を直接用いて Cauchy 性質を証明することで、その仮定を回避した。
• 与えられた条件下で不動点は一意的であり、反復的構成が初期点 $x$ に依存しない唯一の極限に収束することから、そのことが保証された。