[論文レビュー] On lifting univalence to the equivariant setting

Anthony Bordg|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、プレシェーフ圏を用いた等化的設定へのヴォエバドスキーの同一性公理の持ち上げを調査する。$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ における射影的および単射的モデル構造を用いてモデルを構成することで、単射的モデルでは同一性が成り立つが、射影的モデルでは成り立たないことが示され、等化的型理論における同一性の性質がモデル構造の選択に敏感であることを示している。

ABSTRACT

This PhD thesis deals with some new models of intensional type theory and the Univalence Axiom introduced by Vladimir Voevodsky. Our work takes place in the framework of the definitions of type-theoretic fibration categories (the notion of model under consideration in this thesis) and universe in a type-theoretic fibration category, definitions due to Michael Shulman. The goal of this thesis consists mainly in the exploration of the stability of the univalence axiom, in particular in the following sense: being given a type-theoretic fibration category C equipped with a univalent universe U, we are eager to endow the functor category [D,C], where D is a small category, with the structure of a type-theoretic fibration category plus a univalent universe.

研究の動機と目的

• ベースカテゴリからプレシェーフ圏へのユニバースの拡張を通じて、等化的型理論における同一性公理の安定性を調査すること。
• 型理論的ファイブレーションカテゴリ $\mathscr{C}$ に同一性ユニバースが存在するとき、プレシェーフ圏 $[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$ にその同一性性質が持ち上がるかを分析すること。
• 同じプレシェーフ圏における射影的構造と単射的構造の違いが、同一性の性質に与える影響を比較すること。
• $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ において、$\Sigma$, $\Pi$, 恒等型、および同一性ユニバースを備えた内挿型理論の明示的モデルを構築すること。
• 非自明な自己同型を伴う一般化されたリーディー一般化カテゴリが、同一性のモデル化に果たす役割、特にそのような自己同型が存在する場合の役割を理解すること。

提案手法

• 型理論的ファイブレーションカテゴリと、シュルマンによる同型に関して閉じたユニバース（厳密な等価ではなく）の定義を用いる。
• 射影的モデル構造を用いて $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ におけるモデルを構築し、自己同型を伴う離散的群コホモロジーのユニバースを備える。
• 射影的構造における自明な被覆射および弱同値を特徴づけ、型理論的構造の正当性を検証する。
• 同じカテゴリに単射的モデル構造を適用し、第二のモデルを構築し、同一性ユニバースを備える。
• 単射的構造におけるファイブレーション対象およびファイブレーションの性質が複雑であるため、注意深く取り扱う必要があることを示す。
• $\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ が非自明な自己同型を伴う一般化されたリーディー圏であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型理論的ファイブレーションカテゴリ $\mathscr{C}$ における同一性公理が、プレシェーフ圏 $[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$ に持ち上がるか？
• RQ2 射影的および単射的モデル構造が、$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ における自己同型を伴う離散的群コホモロジーのユニバースの同一性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 ファイブレーション対象の複雑さにもかかわらず、$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ における単射的モデル構造に同一性ユニバースを構築できるか？
• RQ4 ベースカテゴリ $\mathbf{Gpd}$ が同一性を支持しているにもかかわらず、なぜ射影的モデル構造では同一性が失敗するのか？
• RQ5 インデクシングカテゴリ $\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ に非自明な自己同型が存在する場合、プレシェーフ圏における同一性ユニバースの構築にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 射影的モデル構造における $[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$ では、自己同型を伴う離散的群コホモロジーのユニバースは同一性を満たさない。
• 射影的モデルにおける同一性の失敗は、射影的弱同値の非自明な特徴づけに起因し、これが同一性条件を妨げている。
• 同じカテゴリにおける単射的モデル構造では、自己同型を伴う離散的群コホモロジーのユニバースは同一性を満たす。これは、モデル構造の選択が重要であることを示している。
• 単射的モデル構造は、ファイブレーション対象の複雑さにもかかわらず、同一性ユニバースを支持しており、これは等化的型理論に適していることを示している。
• 単射的モデル構造は、インデクシングカテゴリがリーディー圏である場合、シュルマンのリーディー・モデルと一致するが、非自明な自己同型を伴う一般化されたリーディー圏へと拡張可能である。
• 射影的モデルでは関数の拡張性が失敗する。これは、$\Sigma$, $\Pi$, 恒等型を備えても、モデルが型理論の基本的原則を満たさないことを示唆している。