[论文解读] On the image of code polynomials under theta map

Manabu Oura, Riccardo Salvati Manni|ArXiv.org|Mar 31, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过证明在可约点处切空间维数不匹配，表明当 $ g \geq 4 $ 时，从码多项式到偶权Siegel模形式的theta映射不是满射，即该关联的射影簇无法嵌入射影空间 $ \mathbb{P}^{2^g - 1} $。该结果解决了 $ g = 4 $ 的开放情况，确立了对 $ g \geq 4 $ 的分次环映射的非满射性，并推广至权重被4整除的子环。

ABSTRACT

The theta map sends code polynomials into the ring of Siegel modular forms of even weights. Explicit description of the image is known for $g\leq 3$ and the surjectivity of the theta map follows. Instead it is known that this map is not surjective for $g\geq 5$. In this paper we discuss the possibility of an embedding between the associated projective varieties. We prove that this is not possible for $g\geq 4$ and consequently we get the non surjectivity of the graded rings for the remaining case $g=4$.

研究动机与目标

• 确定当 $ g = 4 $ 时，从码多项式到Siegel模形式的theta映射是否为满射，从而完成 $ g \leq 5 $ 的分类。
• 研究模形式空间 $ \mathcal{H}_g / \Gamma_g(2,4) $ 是否可通过theta映射嵌入射影空间 $ \mathbb{P}^{2^g - 1} $ 的几何可能性。
• 解决 $ g = 4 $ 时非满射的开放情况，建立在先前结果之上，即对 $ g \geq 5 $ 已证明非满射。
• 通过限制在度数被8整除的码多项式上，分析Siegel模形式的分次环结构。

提出的方法

• 分析群 $ K_g = \Gamma_g / \Gamma_g(2,4) $ 在 $ \mathcal{H}_g / \Gamma_g(2,4) $ 中一般完全可约点处切空间上的作用。
• 通过在对角子群 $ K $ 下不变的对称矩阵的单项式，计算该点处切空间的维数 $ t_g $。
• 使用公式 $ t_g = g + \binom{g}{2} + \frac{1}{2} \sum_{h=3}^g \binom{g}{h} (h-1)! $，该公式在 $ g \geq 4 $ 时超过 $ 2^g - 1 $，从而表明切空间过大，无法嵌入 $ \mathbb{P}^{2^g - 1} $。
• 证明当 $ g \geq 4 $ 时，theta映射 $ \Theta_2: \overline{\mathcal{H}_g / \Gamma_g} \to \mathrm{Proj}(R_g) $ 不可能是浸入映射，原因在于像点处切空间维数不匹配。
• 应用若映射非浸入，则其在分次分量上的诱导映射不可能是满射的事实，从而得出 $ \mathrm{Th}_2: R_g^{(4k)} \to M(\Gamma_g)^{(2k)} $ 非满射。
• 专门研究偶自对偶格的theta级数，表明当 $ g \geq 4 $ 时，映射 $ \mathrm{Th}_2: R_g^{(8)} \to \mathbb{C}[\vartheta_\Lambda] $ 在无穷多个度数上非满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ g = 4 $ 时，从码多项式到偶权Siegel模形式的theta映射是否为满射？
• RQ2 当 $ g \geq 4 $ 时，模形式空间 $ \mathcal{H}_g / \Gamma_g(2,4) $ 是否可通过theta映射嵌入 $ \mathbb{P}^{2^g - 1} $？
• RQ3 当限制在度数被8整除的码多项式以及权重被4整除的模形式时，theta映射的非满射性是否仍然成立？
• RQ4 在 $ \mathcal{H}_g / \Gamma_g(2,4) $ 中一般完全可约点处的切空间维数是多少？其与周围射影空间维数相比如何？

主要发现

• 当 $ g \geq 4 $ 时，$ \mathcal{H}_g / \Gamma_g(2,4) $ 中一般完全可约点处的切空间维数 $ t_g $ 超过 $ 2^g - 1 $，意味着该空间无法嵌入 $ \mathbb{P}^{2^g - 1} $。
• 当 $ g \geq 4 $ 时，theta映射 $ \Theta_2: \overline{\mathcal{H}_g / \Gamma_g} \to \mathrm{Proj}(R_g) $ 不是浸入映射，原因在于像点处切空间维数不匹配。
• 因此，当 $ g \geq 4 $ 时，分次映射 $ \mathrm{Th}_2: R_g^{(4k)} \to M(\Gamma_g)^{(2k)} $ 对任意 $ k \geq 1 $ 均非满射。
• 当 $ g \geq 4 $ 时，theta映射限制在度数被8整除的码多项式上，即 $ \mathrm{Th}_2: R_g^{(8)} \to \mathbb{C}[\vartheta_\Lambda] $，在无穷多个度数上非满射。
• 该结果完成了非满射性的分类：当 $ g \geq 4 $ 时，theta映射非满射，解决了开放情况 $ g = 4 $。