[논문 리뷰] Optimization of the Mean-Square Approximation Procedures for Iterated Ito Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 5 from the Unified Taylor-Ito Expansion Based on Multiple Fourier-Legendre Series

Mikhail Kuznetsov, Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 22.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 37인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 스토케스틱 적분에 대해 통합 테일러-이토 전개 프레임워크 내에서 다중 푸리에-레지오드 급수를 사용하여 평균 제곱 근사 절차를 최적화한다. 정확한 오차 공식을 유도하고 27만 개의 사전 계산된 계수 데이터베이스를 활용하여 근사 정확도를 유지하면서도 필요한 독립적인 가우시안 난수의 수를 크게 감소시켰다. 이로 인해 비교적 높은 수준의 강한 수치적 방법이 다차원 이토 SDE에 적용 가능해졌으며, 비상수 소음이 있는 경우 수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5를 갖는다.

ABSTRACT

The article is devoted to optimization of the mean-square approximation procedures for iterated Ito stochastic integrals of multiplicities 1 to 5. The mentioned stochastic integrals are part of strong numerical methods with convergence orders 1.0, 1.5, 2.0, and 2.5 for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise based on the unified Taylor-Ito expansion and multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k)$ $(k=1,\ldots,5).$ In this article we use multiple Fourier-Legendre series within the framework of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series. We show that the lengths of sequences of independent standard Gaussian random variables required for the mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals of multiplicities 1 to 5 can be significantly reduced without the loss of the mean-square accuracy of approximation for these stochastic integrals.

연구 동기 및 목표

• 비교적 높은 수준의 강한 수치적 방법의 효율성을 높이기 위해 다차원 이토 SDE에 대한 비상수 소음이 있는 반복 이토 스토케스틱 적분의 평균 제곱 근사 절차를 최적화한다.
• 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 적분에 대한 정확한 평균 제곱 근사에 필요한 독립적인 표준 가우시안 난수의 수를 줄인다.
• 테일러-이토 전개 프레임워크 내에서 다중 푸리에-레지오드 급수 근사에 대한 정확한 오차 공식과 수렴 조건을 수립한다.
• 계산 비용을 최소화하면서도 평균 제곱 정확도를 유지하는 조건에서 고차수 수치적 방법(수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5)의 실용적 구현을 가능하게 한다.
• 다중성 1에서 5까지의 적분에 대한 효율적인 근사를 위해 27만 개의 사전 계산된 푸리에-레지오드 계수 데이터베이스를 제공한다.

제안 방법

• 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 스토케스틱 적분을 힐베르트 공간 $ L_2([t,T]^k) $ 내에서 다중 푸리에-레지오드 급수 전개를 사용하여 표현한다. $ k = 1, \dots, 5 $.
• 통합 테일러-이토 전개를 적용하여 다중성 1에서 5까지의 반복 적분을 핵심 구성 요소로 하는 확률적 테일러 급수를 유도한다.
• 일반화된 다중 푸리에 급수와 레지오드 다항식의 정규직교 성질을 이용하여 평균 제곱 근사 오차에 대한 정확한 공식을 유도한다.
• 반복 계산을 방지하고 근사화를 가속화하기 위해 27만 개의 사전 계산된 푸리에-레지오드 계수 데이터베이스를 활용한다.
• 필요한 가우시안 난수의 수를 최소화하면서도 오차 한계가 $ (T-t)^6 $ 비례하도록 하여 최적화된 근사 방법을 제안한다.
• 수렴 조건으로서 가중 제곱 계수의 합(예: $ \sum (2j+1)^2 \bar{C}_{j_1 j_2}^{01} $)을 사용하여 각 다중성에 대한 최소 절단 수준을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 적분에 대한 평균 제곱 근사에 필요한 독립적인 표준 가우시안 난수의 수를 정확도를 저하시키지 않고 줄일 수 있는가?
• RQ2 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 적분에 대해 다중 푸리에-레지오드 급수를 사용할 경우 평균 제곱 근사 오차에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ3 푸리에-레지오드 급수 근사의 수렴 조건은 적분의 다중성과 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 평균 제곱 오차가 $ C(T-t)^6 $ 이하로 제한되도록 하기 위해 필요한 푸리에-레지오드 전개의 최소 항 수는 얼마인가?
• RQ5 사전 계산된 계수의 사용이 다차원 이토 SDE에 대한 고차수 강한 수치적 방법의 계산 효율성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 푸리에-레지오드 급수의 최적화된 절단을 통해 다중성 1에서 5까지의 반복 이토 적분에 대한 평균 제곱 근사에 필요한 독립적인 표준 가우시안 난수의 수가 크게 감소하였다.
• 정확한 오차 공식이 도출되었으며, 이는 다중성 1에서 5까지의 적분에 대해 평균 제곱 오차가 $ C(T-t)^6 $ 이하로 제한됨을 보여주어 고차수 수렴을 보장한다.
• 사전 계산된 푸리에-레지오드 계수(총 27만 개)의 사용은 수치적 방법에서 상당한 계산 절감 효과를 가져왔다.
• 조건 (241)–(246)는 각 다중성에 대한 최소 절단 수준을 제공하며, 주요 조건 (241), (243), (245)에서 계수의 계승 곱(예: $ 3! $, $ 4! $)이 생략되어 있어 계산 비용이 낮아졌다.
• 다중성 3의 경우 조건 (241)를 만족하는 최소 $ p $ 는 $ T-t = 2^{-1} $ 에서 1이며, $ T-t = 2^{-6} $ 에서는 8로 증가하여 적응적 절단이 가능함을 보여주었다.
• 최적화된 방법은 가우시안 난수의 수를 줄이면서도 평균 제곱 정확도를 유지하여, 수렴 차수 1.0, 1.5, 2.0, 2.5를 갖는 강한 수치적 방법의 효율적 구현을 가능하게 하였다.