[論文レビュー] Overcategories and undercategories of model categories

Philip Hirschhorn|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、元の圏がそれらを満たす場合、モデル圏のオーバーカテゴリおよびアンダーカテゴリが、コフェイブレンス生成、セルラリティ、およびプロパティといった主要な構造的性質を継承することを確立する。以前の文献で正当化されずに述べられていた主張について、厳密な証明を提供し、ベースの圏がそれらを満たす場合、忘却関手を介して定義される標準的なモデル構造（弱同値、ファイブレーション、コフェイブレーションがそれらの像として定義される）が、コフェイブレンス生成、セルラリティ、およびプロパティであることを示している。

ABSTRACT

If M is a model category and Z is an object of M, then there are model category structures on the category of objects of M over Z and the category of objects of M under Z under which a map is a cofibration, fibration, or weak equivalence if and only if its image in M under the forgetful functor is, respectively, a cofibration, fibration, or weak equivalence. It is asserted without proof in "Model categories and their localizations" that if M is cofibrantly generated, cellular, or proper, then so is the category of objects of M over Z. The purpose of this note is to fill in the proofs of those assertions and to state and prove the analogous results for undercategories.

研究の動機と目的

• コフェイブレンス生成、セルラリティ、またはプロパティなモデル圏のオーバーカテゴリおよびアンダーカテゴリが、それらの構造的性質を継承することを厳密に証明すること。
• ホーヴェイの研究において正当化されずに述べられていた主張について、形式的な証明を提供することで、文献における未解決のギャップを解消すること。
• 忘却関手を介して定義される標準的なオーバー/アンダーカテゴリのモデル構造が、コフェイブレンス生成およびプロパティと整合することを確立すること。
• モデル圏の理論を、オーバー/アンダーカテゴリを含む形に拡張し、重要なホモトピー的性質を保存すること。
• モデル圏のスライス圏を含むホモトピー論的応用のための基盤を提供すること。

提案手法

• 固定された対象 Z に関するオーバーカテゴリ（Z 以上の対象）およびアンダーカテゴリ（Z 以下の対象）を、Z への構造写像と可換な射をもつコマカテゴリとして定義する。
• オーバー/アンダーカテゴリからベースのモデル圏への忘却関手 U を用いてモデル構造を転送する：U による像がベース圏でファイブレーション、コフェイブレーション、または弱同値であれば、オーバー/アンダーカテゴリでもそれらである。
• オーバー/アンダーカテゴリにおける余帰納と帰納が、ベース圏における余帰納と帰納を介して計算され、普遍性が保たれることを証明する。
• ベース圏の生成集合 I および J からオーバーカテゴリの生成集合 I_Z および J_Z を構成し、小さな対象の操作を用いてコフェイブレンス生成を示す。
• 自由関手 F と忘却関手 U 間の随伴関係を用いて、昇降性質を関連付け、モデル圏の公理を検証する。
• 既知の定理（例：[1, 定理 11.3.2]）を適用して、アンダーカテゴリにコフェイブレンス生成モデル構造の存在を示し、それが標準的な構造と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル圏のオーバーカテゴリがコフェイブレンス生成の性質を継承する条件は何か？
• RQ2 セルラリティなモデル圏のアンダーカテゴリは、依然としてセルラリティを満たすか？
• RQ3 ベースのモデル圏が左または右プロパティを満たす場合、アンダーカテゴリもプロパティを満たすか？
• RQ4 小さな対象の操作を用いて、標準的なオーバー/アンダーカテゴリのモデル構造がコフェイブレンス生成構造と一致することを示せるか？
• RQ5 忘却関手および自由関手を通じて、オーバー/アンダーカテゴリにおける昇降性質は、ベース圏におけるそれらとどのように関係するか？

主な発見

• M がコフェイブレンス生成である場合、M↓Z はそれと同様にコフェイブレンス生成であり、生成コフェイブレーション I_Z および自明なコフェイブレーション J_Z は、ベースの生成集合から構成される。
• M がコフェイブレンス生成である場合、Z↓M は生成集合 F(I) および F(J) を用いてコフェイブレンス生成モデル構造を備える。
• M がセルラリティである場合、相対セル複体および有限対象に関する必要な条件を検証することで、Z↓M もセルラリティを満たすことが示される。
• M が左プロパティ、右プロパティ、またはプロパティを満たす場合、Z↓M も同様のプロパティを満たすことが、昇降およびホモトピー帰納の議論によって示される。
• 忘却関手 U: Z↓M → M はファイブレーション、コフェイブレーション、弱同値を保存かつ反映するため、モデル構造が適切に動作することが保証される。