[논문 리뷰] Potential automorphy over CM fields

Patrick B. Allen, Frank Calegari외 8명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 25.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 자가 dual 조건 없이 CM 체 위에서 regular n차원 Galois 표현에 대해 조건부가 아닌 모듈라리티 승격 정리들을 수립한다. 이는 유도된 Ihara 피하기 기법과 국소-전체 호환성 결과를 사용하며, 모든 타원곡선이 CM 체 위에서 잠재적으로 모듈라리이며 Sato–Tate 추측을 만족함을 증명하고, CM 체 위에서 GL2의 무게 0의 총단조 자동형함수 표현에 대해 Ramanujan 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Let $F$ be a CM number field. We prove modularity lifting theorems for regular $n$-dimensional Galois representations over $F$ without any self-duality condition. We deduce that all elliptic curves $E$ over $F$ are potentially modular, and furthermore satisfy the Sato--Tate conjecture. As an application of a different sort, we also prove the Ramanujan Conjecture for weight zero cuspidal automorphic representations for $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$.

연구 동기 및 목표

• CM 체 위에서 자가 dual 조건 없이 regular n차원 Galois 표현에 대해 모듈라리티 승격 정리를 수립하는 것.
• 모든 타원곡선이 CM 체 위에서 잠재적으로 모듈라리리며 Sato–Tate 추측을 만족함을 증명하는 것.
• GL2(AF)의 regular algebraic cuspidal automorphic 표현들 중 무게 0인 경우에 대해 Ramanujan 추측을 수립하는 것.
• 모듈러성 승격 정리에서 mod-p 코호몰로지의 0이 되는 추측이 필요 없도록 하기 위해, Ihara 피하기의 유도된 형태를 개발하고 적용하는 것.
• CM 체 위에서 Fontaine–Laffaille 및 일반적인 경우에 대해 Galois 표현의 국소-전체 호환성을 증명하는 것.

제안 방법

• Caraiani–Scholze의 작업을 바탕으로, 산술적 국소 대칭 공간과 비유계 Shimura 다양체의 코호몰로지를 사용하는 것.
• l ≠ p의 경우 [Sch15]의 원래 구성 방식을 사용해 국소-전체 호환성을 확립하고, l = p의 경우 경계 코호몰로지에서 차수 이동 방법을 통해 처리하는 것.
• Hida 이론과 포물선 유도의 일반 부분을 사용해 l = p 설정에서 일반적인 경우를 다루는 것.
• Tay08과 KT17을 동시에 일반화하는 유도된 Ihara 피하기의 형태를 도입하여, mod-p 코호몰로지의 0이 되는 추측을 가정하지 않고도 자동형성 승격 정리를 가능하게 하는 것.
• 우르라패치 기법을 사용해 Galois 표현을 구성하고 Fontaine–Laffaille 및 일반적인 경우에 자동형성 승격 정리를 증명하는 것.
• 주요 정리들을 대칭 승수 표현에 적용하고 Rankin–Selberg bound를 사용해 강도성과 Ramanujan 추측을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CM 체 위에서 자가 dual 조건 없이 n차원 regular Galois 표현에 대해 모듈라리티 승격 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 CM 체 위에서 Fontaine–Laffaille 및 일반적인 설정에서 l = p일 때 Galois 표현의 국소-전체 호환성은 어느 정도까지 증명될 수 있는가?
• RQ3 Deligne의 순수성 정리에 의존하지 않고, CM 체 위에서 GL2(AF)의 무게 0 총단조 자동형함수 표현에 대해 Ramanujan 추측을 증명할 수 있는가?
• RQ4 산술군의 mod-p 코호몰로지에 대한 0이 되는 추측을 자동형성 승격 정리에서 피할 수 있는가?
• RQ5 모든 타원곡선이 CM 체 위에서 잠재적으로 모듈라리리며, Sato–Tate 추측을 만족하는가?

주요 결과

• 모든 타원곡선은 CM 수 체 위에서 잠재적으로 모듈라리리며, 그 대칭 승수들도 또한 잠재적으로 모듈라리리다.
• Sato–Tate 추측은 CM 체 위의 모든 타원곡선에 대해 잠재적 모듈라리티의 결과로서 성립한다.
• GL2(AF)의 regular algebraic cuspidal automorphic 표현들 중 무게 0인 경우에 대해 Ramanujan 추측이 증명되었으며, πv가 모든 비분할 소수 v에서 강도성이 있음을 보여준다.
• 이 논문은 자가 dual 조건 없이 CM 체 위에서 n차원 regular Galois 표현에 대해 처음으로 조건부가 아닌 모듈라리티 승격 정리를 수립한다.
• 유도된 Ihara 피하기 기법이 개발되고 적용되었으며, 이는 mod-p 코호몰로지의 0이 되는 추측을 가정하지 않고도 자동형성 승격 정리를 가능하게 한다.
• Fontaine–Laffaille 및 일반적인 경우에 대해 l = p일 때 국소-전체 호환성이 확립되었으며, 이는 이전 결과를 일반적인 CM 체와 고차원 표현으로 확장한다.