[論文レビュー] Pro-étale uniformisation of abelian varieties

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非アルキメデス的体上のアーベル・多様体のプロ・エタール均質化を、完全体被覆を用いて確立する。$\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ であるプロ・エタール普遍被覆が $p$-進家族において局所定数的であることを示し、すべてのアベルォイド多様体が $A^\diamondsuit = \u0377{A}/T_pA$ として一様に均質化されることを示す。被覆間の同型は、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上の半安定還元の同種類に依存し、あらゆる還元タイプにわたって強い一様枠組みを提供する。

ABSTRACT

For an abelian variety $A$ over an algebraically closed non-archimedean field $K$ of residue characteristic $p$, we show that the isomorphism class of the pro-étale perfectoid cover $\widetilde A=\varprojlim_{[p]}A$ is locally constant as $A$ varies $p$-adically in the moduli space. This gives rise to a pro-étale uniformisation of abelian varieties as diamonds \[A^\diamond=\widetilde A/T_pA\] that works uniformly for all $A$ without any assumptions on the reduction of $A$. More generally, we determine all morphisms between pro-finite-étale covers of abeloid varieties. For example, over $\mathbb C_p$, all abeloids can be uniformised in terms of universal covers that only depend on the isogeny class of the semi-stable reduction over $\bar{\mathbb F}_p$.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的体上のアーベル多様体に対して、すべての還元タイプにわたって一様に働くプロ・エタール均質化を構築すること。
• プロ・エタール完全体被覆 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ が $p$-進家族のアーベル多様体において局所定数的であることを示すこと。
• アベルォイド多様体のプロ・ファイニット・エタール被覆間のすべての準同型を同定すること、特にそれらの半安定還元にかかわって。
• 複素解析的および剛体解析的均質化を一般化する、ダイアミント型均質化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$ を確立すること。

提案手法

• 係数が $\underline{\mathbb{Z}}_p$ であるとき、高次コホモロジーが自明である完全体空間としてのプロ・エタール普遍被覆 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ を用いる。
• 上記の性質 $H^i_v(\widetilde{A}, \underline{\mathbb{Z}}_p) = 0$（$i > 0$）を満たす $\widetilde{A}$ の位相的普遍性を活用し、$A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$ を均質化として定義する。
• ダイアモンドおよび $v$-シーヴの理論を用いて $A$ と $\widetilde{A}$ を $v$-シーヴとして扱い、降下および同型定理を可能にする。
• ブレイン・デリーニスペクトル系列および導来 $p$-完備性を用いて、Ext 群を計算し、コホモロジーの消滅結果を証明する。
• 半安定還元 $\overline{B}$ と $\overline{B}'$ の同種類によって、普遍被覆間の同型を特徴付ける。
• 半安定還元の同種類にのみ依存するように、$\widetilde{A}$ が定義されることを示すことにより、すべてのアベルォイド多様体に対して一様構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アルキメデス的体上のアーベル多様体に対して、良い還元や半安定還元の仮定を課さずに、一様なプロ・エタール均質化を構成できるか？
• RQ2 アベルォイド多様体のプロ・ファイニット・エタール被覆間の同型は、その還元型にどのように依存するか？
• RQ3 プロ・エタール普遍被覆 $\widetilde{A}$ は、$p$-進家族のアーベル多様体において局所定数的か？
• RQ4 ダイアミント型均質化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$ は、$A$ の特定の還元型に依存しないようにできるか？
• RQ5 アベルォイド多様体のプロ・ファイニット・エタール被覆間の準同型の構造は、そのテートモジュールおよび半安定還元に関してどのように記述できるか？

主な発見

• アーベル多様体のモジュライ空間における $p$-進族として $A$ が変化するとき、プロ・エタール普遍被覆 $\widetilde{A} = \varprojlim_{[p]} A$ は局所定数的である。
• $K = \mathbb{C}_p$ または $\mathbb{C}_p^\flat$ 上のすべてのアベルォイド多様体は、還元型に依存せず、同じ完全体被覆を用いて一様なダイアミント型均質化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}/T_pA$ を持つ。
• 普遍被覆 $\widetilde{A}$ と $\widetilde{A}'$ 間の同型は、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上の半安定還元 $\overline{B}$ と $\overline{B}'$ の同種類によって決定される。
• アデール被覆 $\widetilde{A}^{\mathrm{ad}} = \varprojlim_N A$ は、類似の均質化 $A^\diamondsuit = \widetilde{A}^{\mathrm{ad}}/TA$ を持つ普遍のプロ・ファイニット・エタール被覆を提供する。
• 任意のアベルォイド $A$ に対して、$H^i_v(\widetilde{A}, \underline{\mathbb{Z}}_p) = 0$（$i > 0$）が成り立ち、$v$-位相における位相的単連結性が確認される。
• プロ・ファイニット・エタール被覆間の準同型は、半安定還元の同種類によって完全に制御され、特定のアベルォイド多様体に依存しない。