[论文解读] Rational points of bounded height on weighted projective stacks

Ratko Darda|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文建立了加权射影堆栈上高度有界的有理点的渐近分布，将Manin-Peyre猜想推广至堆叠商。它引入了一个高度函数，统一了椭圆曲线的朴素高度与µm-挠从丛的绝对判别式，并通过调和分析与相关环面的阿代尔积分，证明了此类点数目的精确渐近公式。

ABSTRACT

A weighted projective stack is a stacky quotient $\mathscr P(\mathbf a)=(\mathbf A^n-\{0\})/\mathbb G_m$, where the action of $\mathbb G_m$ is with weights $\mathbf a\in\mathbb Z^n_{>0}$. Examples are: the compactified moduli stack of elliptic curves $\mathscr P(4,6)$ and the classifying stack of $μ_m$-torsors $Bμ_m=\mathscr P(m)$. We define heights on the weighted projective stacks. The heights generalize the naive height of an elliptic curve and the absolute discriminant of a torsor. We use the heights to count rational points. We find the asymptotic behaviour for the number of rational points of bounded heights.

研究动机与目标

• 将Manin-Peyre猜想推广至加权射影堆栈的设定，即具有非平凡权的堆叠商 (An\{0})/Gm。
• 在这些堆栈上定义一个典范高度函数，该函数同时推广椭圆曲线的朴素高度与µm-挠从丛的绝对判别式。
• 确立此类堆栈上高度有界的有理点数目的渐近行为。
• 通过阿代尔积分与相关环面的测度，计算高度zeta函数的Peyre常数。
• 证明有理点相对于高度测度的等分布性，从而确认堆叠版本的Manin-Peyre猜想。

提出的方法

• 利用由整模型诱导的线丛与度量，在加权射影堆栈 P(a) = (An\{0})/Gm 上定义高度函数。
• 通过关联环面 T(a) 的adele群上的全局傅里叶变换构造高度zeta函数。
• 利用Rademacher型估计与p进积分，分析高度函数的局部与全局傅里叶变换。
• 利用商测度与环面adele群上的哈尔测度，计算Peyre常数。
• 应用拟塔里奇高度与奇异高度度量的理论，以确保有限性与Northcott性质。
• 在adele群 [T(a)(AF)] 上运用调和分析，研究zeta函数的解析延拓与极点。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在加权射影堆栈上定义一个高度函数，使其同时推广椭圆曲线的朴素高度与挠从丛的绝对判别式？
• RQ2 加权射影堆栈上高度有界的有理点数目的渐近增长速率为何？
• RQ3 此类堆栈的高度zeta函数是否允许在复平面上的亚纯延拓，且在 s = 1 处具有等于Picard群秩的极点阶？
• RQ4 能否通过阿代尔积分显式计算加权射影堆栈的Peyre常数？
• RQ5 高度有界的有理点集是否有限，且是否相对于Tamagawa测度等分布？

主要发现

• 当 X → ∞ 时，加权射影堆栈 P(a) 上高度有界的有理点数目渐近地增长为 c ⋅ X^{ρ−1}，其中 ρ 是 P(a) 的Picard群的秩。
• 渐近公式中的首项常数 c 由Peyre常数给出，该常数通过关联环面 T(a) 上的阿代尔积分计算得出。
• 高度zeta函数在复平面上允许亚纯延拓，且在 s = 1 处具有唯一一个阶为 ρ−1 的极点。
• 即使在奇异高度下，高度有界的有理点集仍为有限集，满足Northcott性质。
• 有理点相对于adele商上的Tamagawa测度等分布，从而确认了Manin-Peyre猜想的堆叠类比。
• 该方法成功将经典Manin-Peyre猜想推广至堆栈情形，并在示例（如 P(4,6)（椭圆曲线模空间的紧化）与 P(m)（µm-挠从丛的分类堆栈））中得到显式验证。