[論文レビュー] Simple supercuspidal L-packets of quasi-split classical groups

Masao Oi|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、p ≠ 2 のとき、p-進体上の擬分裂古典的群の単純超臨界表現の L-パケージとそれに対応する L-パrameter を決定する。明示的な特徴指標計算とエンデスコピック特徴指標関係を用いて、これらの L-パケージが二次的特徴指標によるねじれによって得られる L-パラメータによってパラメトライズされることを確立し、この設定における局所 Langlands 対応の自然性を確認する。

ABSTRACT

In this paper, for quasi-split classical groups over p-adic fields, we determine the L-packets consisting of simple supercuspidal representations and their corresponding L-parameters, under the assumption that p is not equal to 2. The key is an explicit computation of characters of simple supercuspidal representations and the endoscopic character relation, which is a characterization of the local Langlands correspondence for quasi-split classical groups.

研究の動機と目的

• p-進体上の擬分裂古典的群に対して、単純超臨界表現からなる L-パケージの構造を明示的に決定すること。
• 局所 Langlands 対応の下で、これらの表現に対応する L-パラメータを特定すること。
• エンデスコピック特徴指標関係を用いて、局所 Langlands 対応の自然性を検証すること。
• 最小深さ超臨界表現である単純超臨界表現に対して、対応の明示的特徴付けを提供すること。
• 単純超臨界表現の L-パケージが、二次的特徴指標によるねじれによって得られる L-パラメータによってパラメトライズされることを確立すること。

提案手法

• Iwahori部分群のプロ-ユニポテンツ部分群上のコンパクト誘導によるアフィン一般特徴指標からの単純超臨界表現の特徴指標の明示的計算。
• エンデスコピック上昇を介して、G の表現と GLN の表現を結ぶエンデスコピック特徴指標関係の適用。
• Plancherel 測度と γ-因子を用いて、ねじられた表現間の L-パラメータを比較する。
• エンデスコピック特徴指標関係が、特徴指標の線形独立性により、局所 Langlands 対応を一意に特徴付けるという事実の活用。
• GS12 の補題 C.4 を用いて、γ-因子の等しさが、WF × SL2(C) 上の表現としての L-パラメータの同型を意味することを示す。
• 表現を二次的特徴指標でねじり、Plancherel 測度がこのようなねじりに関して不変であることを証明し、L-パラメータの比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-進体上の擬分裂古典的群に対して、単純超臨界表現の L-パケージはどのように構造づけられるか？
• RQ2 これらの単純超臨界 L-パケージに対応する L-パラメータの明示的形は何か？
• RQ3 エンデスコピック特徴指標関係は、これらの表現における局所 Langlands 対応をどのように特徴付けるか？
• RQ4 この文脈において、表現の二次的ねじりは、L-パラメータのねじりに対応する範囲はどの程度か？
• RQ5 特徴指標関係を用いて、単純超臨界表現に対して局所 Langlands 対応の自然性を明示的に検証できるか？

主な発見

• 擬分裂古典的群の単純超臨界表現の L-パケージは、元の L-パラメータを二次的特徴指標によるねじれで得た L-パラメータによってパラメトライズされる。
• エンデスコピック特徴指標関係により、L-パケージに属する表現とそれに対応する L-パラメータとの間の対応が一意に特徴付けられる。
• 明示的な特徴指標計算により、Plancherel 測度が二次的特徴指標によるねじりに関して不変であることが確認され、これにより L-パラメータがそれに応じて変換されることを示す。
• 単純超臨界表現の L-パラメータが自己双対的であり、WF × SL2(C) の離散系列表現に対応することが示された。
• 主な結果として、L-パケージ eΠH_φ⊗χ が eΠH_φ ⊗ (χ ◦ spin) に等しく、対応する L-パラメータが φ ⊗ χ に等しいことが確認され、ねじりにおける期待される振る舞いが裏付けられた。
• 証明は、ねじられた L-パラメータの γ-因子の等しさに依拠しており、補題 C.4 より、それらの下位表現が同型であることが示され、正しい L-パラメータが特定された。