[论文解读] Sparse Fault-Tolerant BFS Trees

Merav Parter, David Peleg|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 19

一句话总结

本文提出了构造稀疏故障容错BFS树（FT-BFS）和多源FT-BFS树（FT-MBFS）的确定性算法，可在单条边或单个顶点失效后仍保持BFS结构。该方法实现了最优或近似最优的大小界限：单源FT-BFS为$O(n \cdot \min\{\text{Depth}(s), \sqrt{n}\})$条边，多源FT-MBFS为$O(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$条边，且匹配下界，并为两者提供了$O(\log n)$-近似算法。

ABSTRACT

This paper addresses the problem of designing a sparse {\em fault-tolerant} BFS tree, or {\em FT-BFS tree} for short, namely, a sparse subgraph $T$ of the given network $G$ such that subsequent to the failure of a single edge or vertex, the surviving part $T'$ of $T$ still contains a BFS spanning tree for (the surviving part of) $G$. Our main results are as follows. We present an algorithm that for every $n$-vertex graph $G$ and source node $s$ constructs a (single edge failure) FT-BFS tree rooted at $s$ with $O(n \cdot \min\{\Depth(s), \sqrt{n}\})$ edges, where $\Depth(s)$ is the depth of the BFS tree rooted at $s$. This result is complemented by a matching lower bound, showing that there exist $n$-vertex graphs with a source node $s$ for which any edge (or vertex) FT-BFS tree rooted at $s$ has $Ω(n^{3/2})$ edges. We then consider {\em fault-tolerant multi-source BFS trees}, or {\em FT-MBFS trees} for short, aiming to provide (following a failure) a BFS tree rooted at each source $s\in S$ for some subset of sources $S\subseteq V$. Again, tight bounds are provided, showing that there exists a poly-time algorithm that for every $n$-vertex graph and source set $S \subseteq V$ of size $σ$ constructs a (single failure) FT-MBFS tree $T^*(S)$ from each source $s_i \in S$, with $O(\sqrtσ \cdot n^{3/2})$ edges, and on the other hand there exist $n$-vertex graphs with source sets $S \subseteq V$ of cardinality $σ$, on which any FT-MBFS tree from $S$ has $Ω(\sqrtσ\cdot n^{3/2})$ edges. Finally, we propose an $O(\log n)$ approximation algorithm for constructing FT-BFS and FT-MBFS structures. The latter is complemented by a hardness result stating that there exists no $Ω(\log n)$ approximation algorithm for these problems under standard complexity assumptions.

研究动机与目标

• 设计在单条边或顶点失效后仍能保持BFS结构的稀疏故障容错BFS树。
• 在确保失效后仍包含有效BFS树的前提下，最小化故障容错结构中的边数。
• 将构造方法扩展至多源情况（FT-MBFS树），并获得可证明紧致的大小界限。
• 提供具有近似保证的确定性算法，优于先前的随机化工作。
• 建立FT-BFS与FT-MBFS结构大小的匹配上下界。

提出的方法

• 以替代路径（即避开某条失效边的$s$-$t$最短路径）作为故障容错树的核心结构组件。
• 应用贪心集合覆盖近似算法（ApproxSetCover）来选择覆盖所有必要替代路径的边。
• 通过聚合覆盖每个顶点所有源-边对的边，构建FT-BFS树。
• 对于多源FT-MBFS，将问题建模为每个顶点的集合覆盖实例，其中集合代表源-边对。
• 采用分层构造方法，使每个顶点$v_i$与源-边对上的集合系统相关联，以确保故障容错性。
• 通过对偶性论证证明正确性：若集合覆盖未能覆盖所有对，则树在失效后无法维持最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 构造一种在单条边或顶点失效后仍能保持BFS结构的故障容错BFS树，所需的最少边数是多少？
• RQ2 确定性算法能否在稀疏性方面优于或与现有随机化构造方法相当？
• RQ3 对于给定的源集合，故障容错多源BFS树（FT-MBFS）的最优大小是多少？
• RQ4 能否为FT-BFS与FT-MBFS结构的大小建立紧致的上下界？
• RQ5 是否存在一种多项式时间近似算法，用于构造具有可证明性能保证的FT-BFS与FT-MBFS树？

主要发现

• 对于任意$n$-顶点图和源点$s$，可确定性地构造出边数为$O(n \cdot \min\{\text{Depth}(s), \sqrt{n}\})$的FT-BFS树，其最坏情况下的下界为$\Omega(n^{3/2})$，完全匹配。
• 对于含有$\sigma$个源点的多源FT-MBFS树，该算法构造的结构边数为$O(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$，与$\Omega(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$的下界完全匹配。
• 本文提出了针对FT-BFS与FT-MBFS结构的$O(\log n)$-近似算法，相较于先前的随机化构造，边数最多可减少$\sqrt{n}$倍。
• 下界结果表明，任何构造方法在单源FT-BFS中无法优于$\Omega(n^{3/2})$条边，或多源FT-MBFS中无法优于$\Omega(\sqrt{\sigma} \cdot n^{3/2})$条边。
• 该近似算法近乎紧致，因为在标准复杂性假设下，不存在$\Omega(\log n)$-近似算法。
• 结果可扩展至顶点失效，且保持相同的渐近界限，证明了对边与顶点故障的鲁棒性。