[論文レビュー] Survey on geometric group theory

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Jun 23, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 125被引用数 7

ひとこと要約

本調査は、非専門家向けに幾何学的群論の包括的で理解しやすい入門を提供し、特に準等長写像とケイリー図形を通じた大規模幾何の役割に焦点を当て、群の性質を理解するものである。幾何的手法が深い代数的予想（例： Baum-Connes、Farrell-Jones）を解決する方法を強調し、双曲的群、準等長写像不変量、測度的群論における未解決問題を提示する。

ABSTRACT

This article is a survey article on geometric group theory from the point of view of a non-expert who likes geometric group theory and uses it in his own research. The sections are: classical examples, basics about quasiisometry,properties and invariants of groups invariant under quasiisometry, rigidity, hyperbolic spaces and CAT(k)-spaces, the boundary of a hyperbolic space, hyperbolic groups, CAT(0)-groups, classifying spaces for proper actions, measurable group theory, some open problems.

研究の動機と目的

• 幾何学的群論の非専門家向け入門を提供し、幾何的直感と応用に焦点を当てる。
• ケイリー図形の大規模幾何（粗い幾何）を、準等長写像を通じて用いることで、群の深層的な代数的および位相的性質が符号化されることを示す。
• 幾何学的群論をK理論、L2不変量、剛性に関する主要な予想（例： Baum-Connes、Farrell-Jones、Borel）と結びつける。
• 将来の研究を導くために、双曲的群、準等長写像不変量、測度的群論における未解決問題を提示する。
• 純粋な代数的証明が不明であるような代数的問題（例：イデムポテンス予想）を解くために幾何的手法の力を示す。

提案手法

• 群の不変量としての大規模（粗い）幾何を扱う中心的幾何的対象として、語の距離を用いたケイリー図形を採用する。
• 群を大規模幾何的性質で比較・分類するための基本的同値関係として、準等長写像を適用する。
• 分類空間（適切な作用のための空間）、双曲的空間の境界、CAT(κ)-空間などの位相的・幾何的道具を用いて群構造を分析する。
• 測度的群論において、有界コホモロジーおよびフォン・ノイマン代数の結果を活用し、軌道同値性と剛性を研究する。
• 詳細な証明を伴わず、スレーイアの定理（被覆空間を介して）などの既知の定理と構成を用いて、幾何的手法の有用性を示す。
• 幾何的位相と作用素代数の結果を統合し、L2ベッチ数やNovikov-Shubin不変量などの不変量と群論的性質を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての双曲的群は、ある意味で有限型または余有限型であるか？
• RQ2 境界がS²に同相である双曲的群は、H³上で真にかつ共通に作用するか？
• RQ3 双曲的群の境界が球に同値なČechコホモロジーを持つのはいつか？ また、境界がS^nに同相になるのはいつか？
• RQ4 Isomorphism予想（Baum-Connes、Farrell-Jones、Borel）は、SL_n(Z)、写像類群、Out(F_n)に対して成り立つか？
• RQ5 Novikov-Shubin不変量やL2 torsionといった準等長写像不変量は、準等長写像のもとで保存されるか？

主な発見

• 有限生成群のケイリー図形の大規模幾何は、準等長写像を通じて、本質的な代数的および位相的不変量を捉えている。
• 境界がS^n（n ≥ 6）に同相である双曲的群は、普遍被覆空間がR^nに同相である非可縮閉多様体の基本群として知られている。
• 双曲的群の境界が整数係数Čechコホモロジーを球と共有するための必要十分条件は、その群が非可縮閉多様体の基本群であることである。
• 測度的群論は、ベルヌーイ作用の軌道同値性が、Borel写像を介して群同型および作用同型を意味することを明らかにする。
• 双曲的群の向き付き帰納極限に対しては、5次元以上ではFarrell-Jones予想とBorel予想が成り立つが、他の設定では反例の可能性がある。
• 有限生成でねじれのないノルム群のMal’cev完備化は、まだ証明されていないが、準等長写像不変量であると予想されている。