[論文レビュー] Teichmueller flow and Weil-Petersson flow

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非例外的表面における二次微分形式のモジュライ空間上で、テイヒミュラー・フローとウェイル＝ピーターソン・フローの間の可測な共軛性を確立する。Teichmüller モジュライ空間の全測度不変部分集合から、ウェイル＝ピーターソン モジュライ空間への可測写像を構成し、フローを共軛化し、不変確率測度の連続的単射を誘導する。その像は、リーマン・リュービル測度を含むが全射ではない。

ABSTRACT

For a non-exceptional oriented surface S let Q(S) be the moduli space of area one quadratic differentials. We show that there is a Borel subset E of Q(S) which is invariant under the Teichmueller flow F^t and of full measure for every invariant Borel probability measure, and there is a measurable conjugacy of the restriction of F^t to E into the Weil-Petersson flow. This conjugacy induces a continuous injection H of the space of invariant Borel probability measures for F^t into the space of invariant Borel probability measures for the Weil-Petersson flow. The map H is not surjective, but its image contains the Lebesgue Liouville measure.

研究の動機と目的

• 二次微分形式のモジュライ空間におけるテイヒミュラー・フローとウェイル＝ピーターソン・フローの間の力学的関係を理解すること。
• テイヒミュラー モジュライ空間の全測度不変部分集合上で、二つのフローの間の可測な共軛性を構成すること。
• 不変確率測度への写像の像を分析し、それがリーマン・リュービル測度とどのように関係するかを特定すること。
• 特にエルゴード性と絶対連続性に関して、フロー下での不変測度の構造を調査すること。

提案手法

• テイヒミュラー・フローに関して不変で、かつ任意の不変ボレル確率測度に関して全測度であるようなボレル集合 𝒫 ⊂ ℚ(S) を定義する。
• Teichmüller フロー Φ^t_T が 𝒫 に作用するのを共軛化する、可測写像 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S) を構成する。
• この共軛性を用いて、ℚ(S) 上の Φ^t_T-不変ボレル確率測度の空間から、ℚ_WP(S) 上の Φ^t_WP-不変ボレル確率測度の空間への連続的単射を誘導する。
• この単射の像を分析し、それがリーマン・リュービル測度を含むが全射でないことを示す。全射でない測度は、ℚ(S) 上の局所有限な無限不変ボレル測度に対応する。
• Wolpert の Fenchel–Nielsen 公式を用いて、ウェイル＝ピーターソン カラーベル形式の体積成長を推定し、関数 f がリーマン・リュービル測度に関して可積分であることを確立する。
• Poincaré の再帰性と Masur の一意的エルゴード的測度付きラミネーションに関する結果を活用し、ℚ_WP(S) 内の典型点を特徴づけ、射影的測度付きラミネーション空間上の分解を用いて不変測度を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 面積1の二次微分形式のモジュライ空間上で、テイヒミュラー・フローとウェイル＝ピーターソン・フローの間に可測な共軛性が存在するか？
• RQ2 不変測度への写像がエルゴード性と単射性を保ち、その像は何か？
• RQ3 ウェイル＝ピーターソン・フローのリーマン・リュービル測度が、テイヒミュラー不変測度の像として実現可能か？
• RQ4 ウェイル＝ピーターソン モジュライ空間内の典型点の集合の構造は何か？ そしてそれらは不変測度とどのように関係するか？
• RQ5 特にエントロピーと不変測度の絶対連続性に関して、フローの力学的性質をどのように比較できるか？

主な発見

• 任意の Φ^t_T-不変ボレル確率測度に関して全測度であり、テイヒミュラー・フローに関して不変なボレル集合 𝒫 ⊂ ℚ(S) が存在する。
• 可測写像 Λ: 𝒫 → ℚ_WP(S) が存在し、Φ^t_T|𝒫 と Φ^t_WP を共軛化する。
• この共軛性により、ℚ(S) 上の Φ^t_T-不変ボレル確率測度の空間から、ℚ_WP(S) 上の Φ^t_WP-不変ボレル確率測度の空間への連続的単射が誘導される。
• この単射の像は、ウェイル＝ピーターソン計量に対するリーマン・リュービル測度を含むが、全射ではない。
• 像に含まれない測度は、ℚ(S) 上の局所有限な無限不変ボレル測度に対応する。
• 短い曲線の近傍における距離-角度座標系における体積成長に関連する関数 f は、リーマン・リュービル測度 ν に関して可積分であり、測度論的整合性が裏付けられる。