[論文レビュー] Testing spherical transitivity in iterated wreath products of cyclic groups

Benjamin Steinberg|ArXiv.org|Jul 22, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、巡回群の無限反復ワーレス積の有限状態自己同型における球的推移性をテストするためのアルゴリズムを提示する。この手法は、有理級数および行列に基づく状態遷移解析を用いる。主な貢献は、シュッツェンベルガーの有理級数理論およびオートマトン理論を活用することで、このような群における球的推移性および同型性の決定可能基準を確立することにある。

ABSTRACT

We give a partial solution a question of Grigorchuk, Nekrashevych, Sushchanskii and Šunik by giving an algorithm to test whether a finite state element of an infinite iterated (permutational) wreath product $\hat G = \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr \mathbb Z/k\mathbb Z\wr >...$ of cyclic groups of order $n$ acts spherically transitively. We can also decide whether two finite state spherically transitive elements of $\hat G$ are conjugate. For general infinite iterated wreath products, an algorithm is presented to determine whether two finite state automorphisms have the same image in the abelianization.

研究の動機と目的

• グリゴルチキン、ネクラシエヴィッチ、シュシュチャーンスキー、シュニェィクが提起した、巡回群の無限反復ワーレス積における球的推移性に関する問題に応えること。
• 有限状態自己同型が根付き正則な k 進木上で球的推移的に作用するかどうかを特定するアルゴリズムを開発すること。
• 群 $\widehat{G}$ 内の2つの有限状態球的推移的要素の同型性を決定すること。
• 2つの有限状態自己同型が $\widehat{G}$ のアーベル化において同じ像を持つかどうかを決定可能かどうかを判定すること。

提案手法

• 有限状態集合および遷移／出力関数を用いて、有限状態自己同型を初期オートマトンとして表現する。
• インシデント行列を用いて状態遷移を符号化し、オートマトン内の経路数を計算する。
• 補題6を適用して、アーベル化における要素の像を生成関数として表現する：$ g[\widehat{G},\widehat{G}] = \sum_{j=0}^{\infty} (A^j v_A)_1 t^j $。
• 状態空間の有限性を活用して、行列のべき乗における周期性を用いて無限回のチェックを有限計算に還元する。
• $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ 上の線形代数を用いて、アーベル化における像の等価性を、ある上限まで係数を比較することでテストする。
• シュッツェンベルガーの有理級数理論を応用し、任意の有限状態自己同型のアーベル化における像が有理級数であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回群の反復ワーレス積における有限状態自己同型の球的推移性は、アルゴリズム的にテスト可能か？
• RQ2 $\mathrm{Aut}(T_k)$ 内の2つの有限状態球的推移的要素は同型か？ そして、その同型性はアルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 2つの有限状態自己同型が、$\widehat{G}$ のアーベル化において同じ像を持つかどうかを決定可能か？
• RQ4 有限状態自己同型のアーベル化における像は、有理級数として表現可能か？

主な発見

• 有限状態自己同型 $f$ の球的推移性は決定可能であり、$f[\widehat{G},\widehat{G}]$ の各係数が $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}^\times$ に属するかどうかのチェックに等しい。
• 有限状態空間の性質により、球的推移性テストのアルゴリズムは有限時間で終了し、状態数 $n$ に対して $k^n$ のステップ数の上限が与えられる。
• 球的推移的要素同士の同型性は、積オートマトン内の経路数の行列ベースの比較によって決定可能である。
• 2つの有限状態自己同型のアーベル化における像の等価性は、それらの有理級数表現の係数をある有限上限まで比較することで決定可能である。
• 任意の有限状態自己同型のアーベル化における像は、有理級数である。これは生成関数 $ (I - At)^{-1} v_A $ の有理性により証明される。
• アーベル化 $G^{ab}$ が有限体である場合、等価性のチェックは $m+n$ ステップに最適化可能である。ここで $m$ および $n$ は2つのオートマトンの状態数を表す。