[論文レビュー] The number of $C_{2l}$-free graphs

Robert Morris, David Saxton|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、Erdősが提起した長年の予想を解決し、$n$ 頂点上の $C_{2 heta}$-freeなグラフの数が $2^{O(n^{1+1/ heta})}$ 以下であることを証明した。これは、偶数サイクルに対する新しいバランスの取れた超飽和定理を組み合わせたハイパーグラフコンテナ法を用いる。さらに、$C_6$-freeなグラフの数が $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,C_6)}$ であるという自然な予想を反証し、ある $c>0$ と無限に多くの $n$ に対して、少なくとも $2^{(1+c)\textup{ex}(n,C_6)}$ 個の $C_6$-freeなグラフが存在することを示した。また、偶数サイクルおよび完全二部グラフに対する Erdős-Rényi 確率的グラフ $G(n,p)$ における Turán 問題を解決した。

ABSTRACT

One of the most basic questions one can ask about a graph $H$ is: how many $H$-free graphs on $n$ vertices are there? For non-bipartite $H$, the answer to this question has been well-understood since 1986, when Erdős, Frankl and Rödl proved that there are $2^{(1 + o(1)) ex(n,H)}$ such graphs. For bipartite graphs, however, much less is known: even the weaker bound $2^{O(ex(n,H))}$ has been proven in only a few special cases: for cycles of length four and six, and for some complete bipartite graphs. For even cycles, Bondy and Simonovits proved in the 1970s that ex$(n,C_{2l}) = O( n^{1 + 1/l} )$, and this bound is conjectured to be sharp up to the implicit constant. In this paper we prove that the number of $C_{2l}$-free graphs on $n$ vertices is at most $2^{O(n^{1 + 1/l})}$, confirming a conjecture of Erdős. Our proof uses the hypergraph container method, which was developed recently (and independently) by Balogh, Morris and Samotij, and by Saxton and Thomason, together with a new 'balanced supersaturation theorem' for even cycles. We moreover show that there are at least $2^{(1 + c)ex(n,C_6)}$ $C_6$-free graphs on $n$ vertices for some $c > 0$ and infinitely many values of $n$, disproving a well-known and natural conjecture. As a further application of our method, we essentially resolve the so-called Turán problem on the Erdős-Rényi random graph $G(n,p)$ for both even cycles and complete bipartite graphs.

研究の動機と目的

• extremal graph theory の中心的問題である、$n$ 頂点上の $C_{2 heta}$-freeなグラフの漸近的数を特定すること。
• Erdős が提起した予想、すなわち $C_{2 heta}$-freeなグラフの数が $2^{O(n^{1+1/ heta})}$ 以下であるという予想を解決し、偶数サイクルに対する極値関数のオーダーの大きさを確認すること。
• すべての二部グラフ $H$ に対して、$H$-freeなグラフの数が $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,H)}$ であるという広く信じられていた予想を、$H = C_6$ の場合に超指数的下界を構成することで反証すること。
• ハイパーグラフコンテナ法を用いて、偶数サイクルおよび完全二部グラフに対する Erdős-Rényi 確率的グラフ $G(n,p)$ における Turán 問題を解き、すべての $p$ に対してほぼ最適な境界を得ること。

提案手法

• 著者たちは、Balogh, Morris, Samotij や Saxton, Thomason によって最近開発されたハイパーグラフコンテナ法を用いて、$H$-freeなグラフの数を上界づけた。
• 偶数サイクルに対する新しい「バランスの取れた超飽和定理」を導入し、これは稠密な部分グラフが多くの $C_{2 heta}$ のコピーを含むことを保証し、効率的なコンテナ構築を可能にする。
• この方法は、禁止された部分グラフを符号化するハイパーグラフにおける独立集合の数を制御するために、次数分布と近傍拡張の詳細な解析に依存している。
• 証明では、頂点近傍における凸性と平均化の議論を用いて、コンテナで飽和していない完全二部部分グラフ $K_{s,t}$ を誘導する「良いペア」$(S,T)$ の数の下界を導出している。
• 重要な技術的ステップとして、典型的な $s$-集合 $S$ に対して、$(S,v)$ が良いペアであるような頂点 $v$ の集合 $\\mathcal{M}(S)$ の大きさが $\\Omega(k^s)$ であることを示した。これにより、多数の $K_{s,t}$-free な部分グラフの構築が可能になった。
• この枠組みは、バランスの取れた超飽和性を持つ任意の二部グラフに一般化可能であり、偶数サイクルを越えて広範な応用が可能であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdős が提起したように、$n$ 頂点上の $C_{2 heta}$-freeなグラフの数は $2^{O(n^{1+1/ heta})}$ 以下であるか？
• RQ2 すべての二部グラフ $H$（特に $H = C_6$）に対して、$H$-freeなグラフの数が $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,H)}$ であるという自然な予想は成り立つか？
• RQ3 ハイパーグラフコンテナ法を、極値関数が二次未満であるような二部グラフ $H$ に対して、$H$-freeなグラフの数のタイトな境界を得るために拡張できるか？
• RQ4 偶数サイクルおよび完全二部グラフに対する Erdős-Rényi 確率的グラフ $G(n,p)$ における Turán 問題の正しい境界は何か？

主な発見

• $n$ 頂点上の $C_{2 heta}$-freeなグラフの数は $2^{O(n^{1+1/ heta})}$ 以下であり、Erdős の予想がすべての偶数サイクルに対して確認された。
• $H = C_6$ の場合、ある $c>0$ と無限に多くの $n$ に対して、少なくとも $2^{(1+c)\textup{ex}(n,C_6)}$ 個の $C_6$-freeなグラフが存在する。これは、数が $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,C_6)}$ であるという予想を反証する。
• ハイパーグラフコンテナ法に加え、新しいバランスの取れた超飽和定理を組み合わせることで、$K_{s,t}$-freeなグラフの数に対するタイトな境界が得られた。$2 \leq s \leq t$ のとき、$K_{s,t}$-freeなグラフの境界は $2^{O(n^{2-1/s})}$ である。
• この方法により、偶数サイクルおよび完全二部グラフに対する $G(n,p)$ における Turán 問題が解決され、すべての $p$ の値に対してほぼ最適な境界が得られた。
• この枠組みは、バランスの取れた超飽和性を持つ任意の二部グラフに適用可能であり、研究された特定のケースを超えて広範な応用が可能であると考えられる。