[論文レビュー] The Quantum Orbifold Cohomology of Weighted Projective Spaces

Tom Coates, Alessio Corti+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、小量子オルビフォールドコホモロジーを、$S^1$-可換フローリングコホモロジーとの関係を示す一般化されたギヴェンタルのヒューリスティックを用いて、任意の重み付き射影空間に対して計算する。小$J$-関数の予想された公式を、トーリックおよび安定写像コンパクト化における可換局所化を用いて証明することで、終状態特異点を持つ完遂交差を含む、次元が任意の高次元のオルビフォールドで初めて明示的に知られた小量子オルビフォールドコホモロジーの非自明な族を確立する。

ABSTRACT

We calculate the small quantum orbifold cohomology of arbitrary weighted projective spaces. We generalize Givental's heuristic argument, which relates small quantum cohomology to S^1-equivariant Floer cohomology of loop space, to weighted projective spaces and use this to conjecture an explicit formula for the small J-function, a generating function for certain genus-zero Gromov-Witten invariants. We prove this conjecture using a method due to Bertram. This provides the first non-trivial example of a family of orbifolds of arbitrary dimension for which the small quantum orbifold cohomology is known. We also obtain formulas for the small J-functions of weighted projective complete intersections satisfying a combinatorial condition; this condition naturally singles out the class of orbifolds with terminal singularities.

研究の動機と目的

• 任意の重み付き射影空間 $\mathbb{P}^\mathbf{w}$ の小量子オルビフォールドコホモロジー環を計算すること。これは非自明な特異点を持つオルビフォールドのクラスである。
• ギヴェンタルのヒューリスティックを、量子コホモロジーとループ空間の $S^1$-可換フローリングコホモロジーとの関係に一般化し、オルビフォールド設定に拡張すること。
• ベルトゥームの方法（可換コホモロジーと局所化に基づく）を用いて、小$J$-関数（ genus-zero Gromov–Witten 不変量の生成関数）の予想された公式を証明すること。
• 終状態特異点を特徴付ける組合せ的条件を満たす重み付き射影完遂交差へ結果を拡張すること。

提案手法

• 重み付き射影空間 $\mathbb{P}^\mathbf{w}$ の小量子オルビフォールドコホモロジーを、そのループ空間 $L\mathbb{P}^\mathbf{w}$ の $S^1$-可換フローリングコホモロジーと関係づける一般化されたギヴェンタルのヒューリスティックを一般化する。
• 有理曲線の空間の2つのコンパクト化を構成する：トーリックコンパクト化と、$\mathbb{P}^\mathbf{w} \times \mathbb{P}(1,r)$ への genus-zero 安定写像のモジュライ空間（第二因子の次数が $1/r$）。
• $\mathbb{C}^\times$-可換写像を用いて、これらのコンパクト化の可換コホモロジー類を関係づける。
• 可換局所化を適用し、トーリックコンパクト化上の $\mathbb{C}^\times$-可換コホモロジー類の積分を、安定写像コンパクト化上の積分に変換する。
• 得られた式を用いて、年齢シフト次数およびオルビフォールド不変量の観点から、小$J$-関数の予想された公式を検証する。
• 量子レフシェッツの定理と $S^1$-可換フローリングコホモロジー上の $\mathcal{D}$-加群構造を用いて、$J$-関数と量子コホモロジー環を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな埋め込み空間が存在しない状況で、重み付き射影空間の小量子オルビフォールドコホモロジーはどのように計算できるか？
• RQ2 非自明な安定型を持つオルビフォールドに、量子コホモロジーと $S^1$-可換フローリングコホモロジーとの関係を示すギヴェンタルのヒューリスティックを拡張できるか？
• RQ3 重み付き射影空間の明示的な小$J$-関数の形は何か？ そして、これは genus-zero Gromov–Witten 不変量をどのように符号化するか？
• RQ4 どの重み付き射影完遂交差が well-defined な小量子オルビフォールドコホモロジーを持つのか？ また、その終状態特異点を保証する条件は何か？
• RQ5 $\mathbb{C}^\times$-可換構造が有理曲線のコンパクト化に与える影響は、$J$-関数および量子不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の重み付き射影空間 $\mathbb{P}(w_0,\dots,w_n)$ の小量子オルビフォールドコホモロジー環は、小$J$-関数の公式が証明されたことで完全に計算可能である。
• 一般化されたギヴェンタルのヒューリスティックから導かれた予想された $J$-関数は、有理曲線の $\mathbb{C}^\times$-可換コンパクト化における可換局所化を用いて、厳密に証明された。
• 本手法により、任意の次元のオルビフォールドで初めて明示的に知られた小量子オルビフォールドコホモロジーを持つ非自明な族が確立された。
• 終状態特異点を特徴付ける組合せ的条件を満たす、重み付き射影完遂交差 $\mathcal{X} \subset \mathbb{P}^\mathbf{w}$ に対して、小$J$-関数が計算可能である。
• すべての $f \in F$ に対して $\sum_{i=0}^n \langle fw_i \rangle > 1 + \sum_{j=0}^m \langle fd_j \rangle$ が成り立つことは、終状態特異点の必要十分条件であり、リード＝タイ基準により確認された。
• $k_\mathcal{X} = 0$ のとき $I_{\mathcal{X}}(t) = \iota_*\left(F(t)z + G(t) + O(z^{-1})\right)$ であり、$k_\mathcal{X} < 0$ のとき $I_{\mathcal{X}}(t) = \iota_*\left(z + \tau(t) + O(z^{-1})\right)$ となる。ここで $\tau(t)$ および $G(t)/F(t)$ はオルビフォールド幾何学によって定まる。