[论文解读] Topological and uniform structures on universal covering spaces

N. Brodskiy, Jerzy Dydak+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 15

一句话总结

本文引入并比较了通用覆盖空间上的均匀结构与拓扑结构，重点关注发梢、套索和Berestovskii-Plaut均匀结构。研究结果表明，套索均匀结构使基本群成为拓扑群，并证明在一致局部道路连通的均匀空间中，詹姆斯与套索均匀结构在通用覆盖空间上一致。

ABSTRACT

We discuss various uniform structures and topologies on the universal covering space $\widetilde X$ and on the fundamental group $π_1(X,x_0)$. We introduce a canonical uniform structure $CU(X)$ on a topological space $X$ and use it to relate topologies on $\widetilde X$ and uniform structures on $\widetilde{CU(X)}$. Using our concept of universal Peano space we show connections between the topology introduced by Spanier and a uniform structure of Berestovskii and Plaut. We give a sufficient and necessary condition for Berestovskii-Plaut structure to be identical with the one generated by the uniform convergence structure on the space of paths in $X$. We also describe when the topology of Spanier is identical with the quotient of the compact-open topology on the space of paths.

研究动机与目标

• 在任意拓扑空间X上建立一个规范的均匀结构CU(X)，以统一覆盖空间的均匀与拓扑方法。
• 研究通用覆盖空间𝔛上的发梢拓扑何时与路径空间上紧致开拓扑的商拓扑一致。
• 刻画Berestovskii-Plaut均匀结构在𝔛上与路径收敛所诱导的均匀结构一致的条件。
• 定义并利用通用Peano空间P(X)，作为将任意空间问题约化为局部道路连通空间问题的工具。
• 确定在何种条件下，套索均匀结构使基本群π₁(X,x₀)成为拓扑群。

提出的方法

• 在拓扑空间X上引入规范均匀结构CU(X)，以关联通用覆盖上的拓扑与均匀结构。
• 将通用Peano空间P(X)定义为X的通用局部道路连通化，从而实现从局部道路连通空间到一般空间的结果转移。
• 通过U-发梢的基刻画发梢拓扑，并将其与路径空间上紧致开拓扑的商拓扑关联。
• 在𝔛上定义三种均匀结构：詹姆斯（紧致开拓扑的商）、Berestovskii-Plaut（通过均匀空间中的链）和套索（通过E-套索）。
• 利用E-穿孔同伦与E-套索定义套索均匀结构中的接近性，并将其与路径同伦类关联。
• 通过路径提升与同伦的均匀控制，证明𝔛_l与𝔛_P(X)_J之间存在均匀同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 通用覆盖空间𝔛上的发梢拓扑何时与基于路径空间上紧致开拓扑的商拓扑一致？
• RQ2 Berestovskii-Plaut均匀结构在𝔛上何时与路径一致收敛所诱导的均匀结构一致？
• RQ3 在何种条件下，𝔛上的套索均匀结构与詹姆斯均匀结构等价？
• RQ4 在何种条件下，𝔛上π₁(X,x₀)的套索均匀结构使其成为拓扑群？
• RQ5 通用Peano空间P(X)如何实现从局部道路连通空间到一般空间的结果转移？

主要发现

• 当且仅当X是小环传递空间时，𝔛上的发梢拓扑与紧致开拓扑的商拓扑一致。
• 套索均匀结构使π₁(X,x₀)成为拓扑群，通过直接验证逆运算与乘法的连续性得以证明。
• 对于任意连通且一致局部道路连通的均匀空间X，𝔛上的詹姆斯与套索均匀结构完全一致。
• 当且仅当X是均匀小环传递空间时，𝔛上的Berestovskii-Plaut均匀结构与路径收敛所诱导的均匀结构一致。
• 𝔛与𝔛_P(X)之间的自然同构诱导了𝔛上套索均匀结构与𝔛_P(X)上詹姆斯均匀结构之间的均匀同胚。
• 通用Peano空间P(X)提供了一种规范的路径与同伦提升方式，使一般覆盖空间问题可约化为局部道路连通情形。