[论文解读] Upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of type A

Alexander Caviedes Castro|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过J-全纯曲线技巧计算非零的格罗莫夫-威滕不变量，为A型酉群共轭轨道的格罗莫夫宽度建立了上界。关键结果表明，若轨道中特征值差为某对特征值差的整数倍，则格罗莫夫宽度的上界为该对特征值差的绝对值，推广了此前对正则轨道的结果。

ABSTRACT

We find an upper bound for the Gromov width of coadjoint orbits of U(n) with respect to the Kirillov-Kostant-Souriau symplectic form by computing certain Gromov-Witten invariants. The approach presented here is closely related to the one used by Gromov in his celebrated non-squeezing theorem.

研究动机与目标

• 确定U(n)共轭轨道格罗莫夫宽度的上界，这些轨道是带有基里洛夫-科斯塔nt-苏里亚乌形式的辛流形。
• 将此前关于正则共轭轨道（所有特征值互异）的结果扩展至具有重复特征值的奇异轨道。
• 应用格罗莫夫-威滕不变量与J-全纯曲线方法于辛几何，特别是在旗流形与格拉斯曼流形的背景下。
• 利用辛拓扑与代数几何工具，以特征值差为参数，建立格罗莫夫宽度的一般上界。
• 为将结果推广至U(n)以外的所有单紧致李群奠定基础。

提出的方法

• 本文使用与旗流形中J-全纯曲线相关的格罗莫夫-威滕不变量，从上方向格罗莫夫宽度施加约束。
• 通过特征值划分将U(n)的共轭轨道与旗流形Fl(a;n)相联系，其中a = (a₁, ..., aₗ) 编码重复的特征值。
• 该方法涉及构造一个全纯投影π: Fl(a;n) → Fl(a';n)，其纤维为格拉斯曼流形G(a₁, a₂)，从而将曲线计数问题约化为已知情形。
• 关键步骤是证明格罗莫夫-威滕不变量GW_{A,2}^{J_λ}(PD[p], PD[X_{w'~w}]) = 1，对特定同调类A成立，表明其非零，从而给出上界。
• 计算出辛面积ω_λ(A) = |λ_{m₁+1} - λ_{m₁}|，即J-全纯球面的最小辛面积，从而导出上界。
• 论证依赖于如下事实：任何通过一般点与一个施普伦格流形的全纯曲线必须位于一个纤维中，且当纤维为格拉斯曼流形时，该纤维中仅存在一条此类曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有基里洛夫-科斯塔nt-苏里亚乌形式的U(n)共轭轨道中，能嵌入的辛球体的最大尺寸是多少？
• RQ2 具有重复特征值的奇异共轭轨道的格罗莫夫宽度与正则轨道相比如何？
• RQ3 格罗莫夫-威滕不变量能否用于推导旗流形中正则情形以外的格罗莫夫宽度上界？
• RQ4 在何种特征值条件下，U(n)共轭轨道的格罗莫夫宽度会由某对特定特征值差所限制？
• RQ5 格拉斯曼几何中的技术在多大程度上可推广至部分旗流形中计算格罗莫夫-威滕不变量？

主要发现

• 当所有差值λ_i' - λ_j' 均为λ_i - λ_j 的整数倍时，U(n)共轭轨道H_λ的格罗莫夫宽度上界为|λ_i - λ_j|。
• 该上界由非零格罗莫夫-威滕不变量GW_{A,2}^{J_λ}(PD[p], PD[X_{w'~w}]) = 1 确认，该不变量证实了存在一条度数为A的J-全纯球面。
• 辛面积ω_λ(A) = |λ_{m₁+1} - λ_{m₁}| 是该轨道中J-全纯球面的最小辛面积，且该值即为上界。
• 该结果将马斯鲁尔·佐吉此前对正则共轭轨道的边界结果推广至具有重复特征值的奇异轨道情形。
• 该方法通过全纯纤维丛结构，将部分旗流形中格罗莫夫-威滕不变量的计算约化为格拉斯曼流形中的情形。
• 该上界是紧致的，因为它与轨道谱中最小特征值差完全一致，暗示了辛嵌入容量的几何自然极限。