[論文レビュー] Weak type $(2,H)$ and weak cotype $(2,H)$ of operator spaces

Hun Hee Lee|ArXiv.org|Feb 16, 2005

Advanced Banach Space Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、作用素空間における弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$を導入し、$p<2$のとき型$(2,H)$と型$(p,H)$の間（同様に$q>2$のときコタイプ$(2,H)$とコタイプ$(q,H)$の間）の中間的性質として定義する。等価な特徴づけを提示し、弱$H$空間（同時に弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H^*)$をもつもの）が完全同型的に$H$と同一視できることを示し、完全核的作用素の固有値の和が有界であるというより強い条件が、$H$への完全同型性を特徴づけることを示す。これらの結果は、ヒルベルト型作用素空間構造を用いて、古典的な弱型および弱型コタイプ概念を作用素空間の文脈へ拡張するものである。

ABSTRACT

Recently an operator space version of type and cotype, namely type $(p,H)$ and cotype $(q,H)$ of operator spaces for $1\leq p \leq 2\leq q \leq \infty$ and a subquadratic and homogeneous Hilbetian operator space $H$ were introduced and investigated by the author. In this paper we define weak type $(2,H)$ (resp. weak cotype $(2,H)$) of operator spaces, which lies strictly between type $(2,H)$ (resp. cotype $(2,H)$) and type $(p,H)$ for all $1\leq p &lt;2$ (resp. cotype $(q,H)$ for all $2

研究の動機と目的

• 作用素空間における弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$を、$p<2$のとき型$(2,H)$と型$(p,H)$の間（同様に$q>2$のときコタイプ$(2,H)$とコタイプ$(q,H)$の間）に位置する中間的性質として定義し、研究すること。
• 古典的なバナッハ空間における弱型および弱型コタイプに類似した、弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$の等価な表現を確立すること。
• 弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H^*)$を同時にもつ作用素空間（弱$H$空間）を特徴づけ、それが$H$と完全同型的であることを示すこと。
• 弱$H$空間と、完全核的作用素の固有値の和に関するより強い条件との違いを明確にし、後者の方が$H$への完全同型性を示すことを示すこと。

提案手法

• バナッハ空間における弱型および弱型コタイプの作用素空間版を用いて、$(q,2)$-和分ノルムおよび$\tau$-ノルムを用いて弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$を定義する。
• 射影の存在（有界写像を拡張する大規模なランクを持つもの）を用いた投影拡張による弱型の特徴づけと、比例的次元のユークリッド部分空間の存在による弱型コタイプの特徴づけを用いて、等価な表現を確立する。
• トレース双対性および完全核的作用素の理論を用いて、固有値の減衰が弱型コタイプ$(2,H)$と関係することを示し、特に$\sum_k |\lambda_k(T)| \leq C \cdot \nu^o(T)$という条件を経由する。
• 複素補間法および最小／最大作用素空間構造（例：$\min\ell_2$, $R_p$）を用いて、$H$およびその双対$H^*$の性質を分析する。
• $H$が均質的かつ部分二次的であるという事実を活用し、完全有界性および固有値の制御に関する帰結を導出する。
• 作用素空間理論における$B(\ell_2)$の内挿性および拡張定理を用いて、写像の拡張を構成し、固有値を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用素空間の文脈において、弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$を、$p<2$のとき型$(2,H)$と型$(p,H)$の間（同様に$q>2$のときコタイプ$(2,H)$とコタイプ$(q,H)$の間）に厳密に挟むように定義する方法は何か？
• RQ2 弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H)$の等価な表現は、射影の拡張およびユークリッド部分空間の密度という観点からどのように記述できるか？
• RQ3 弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H^*)$を同時にもつ弱$H$空間（弱$H$空間）は、$H$と完全同型的であると特徴づけられるか？
• RQ4 すべての完全核的作用素$T$に対して$\sum_k |\lambda_k(T)| \leq C \cdot \nu^o(T)$が成り立つという条件は、弱$H$空間を特徴づけないが、それでは果たして何を意味するのか？

主な発見

• 弱型$(2,H)$は、すべての$1\leq p<2$に対して型$(2,H)$と型$(p,H)$の間で厳密に挟まれており、写像$u:S \to \ell^n_2$に対して$\|v\| \leq C\|u\|$を満たすような射影$P$が存在し、$\text{rk}P > \delta n$を満たすという特徴づけを持つ。
• 弱型コタイプ$(2,H)$は、任意の有限次元$F \subseteq E$に対して、$\text{dim}F_1 \geq \delta \text{dim}F$かつ$d(F_1, \ell^{\text{dim}F}_2) \leq C$を満たす部分空間$F_1 \subseteq F$が存在することと同値である。
• 空間$E$が弱$H$空間（すなわち、弱型$(2,H)$および弱型コタイプ$(2,H^*)$を同時にもつ）であるための必要十分条件は、$E$が$H$と完全同型的であることである。これは、弱型コタイプ条件とこのようなユークリッド部分空間の存在が同値であることから示される。
• すべての完全核的作用素$T:E \to E$に対して$\sum_k |\lambda_k(T)| \leq C \cdot \nu^o(T)$が成り立つという条件は、弱$H$空間を特徴づけないが、$E$が$C''$-均質的かつ$C''$-ヒルベルト的であり、$C'' \leq C' C^2$を満たすことを示し、したがって$H$と完全同型的であることを示す。
• より強い条件$\sum_k |\lambda_k(T)| \leq C \cdot \nu^o(T)$は、$H$と完全同型的でない作用素空間$\mathcal{H}$に対しても成り立つため、この条件は弱$H$空間よりも厳密に強いことが示される。
• すべての完全核的作用素$T$に対して$\sum_k |\lambda_k(T)| \leq C \cdot \gamma_H^*(T)$が成り立つという条件は、$E$が$H$と完全同型的であることと同値である。ここで$\gamma_H^*$は$H$-核的ノルムの双対である。