[论文解读] Application of Multiple Fourier-Legendre Series to Implementation of Strong Exponential Milstein and Wagner-Platen Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 16

一句话总结

本文提出了一种针对非交换性半线性随机偏微分方程（SPDEs）与多重迹类噪声的强指数米尔斯坦（Milstein）和沃格纳-普拉滕（Wagner-Platen）格式的新型实现方法。通过利用多重傅里叶–勒让德级数，实现了对无限维 $Q$-维纳过程的多重性为1至3的迭代伊藤随机积分的均方逼近，从而在无需交换性假设的条件下实现了高阶收敛（$1.0 - \varepsilon$ 和 $1.5 - \varepsilon$）。

ABSTRACT

The article is devoted to the application of multiple Fourier-Legendre series to implementation of strong exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise. These methods have strong orders of convergence $1.0-\varepsilon$ and $1.5-\varepsilon$ correspondingly (here $\varepsilon$ is an arbitrary small positive real number) with respect to the temporal discretization. The theorem on mean-square convergence of approximations of iterated stochastic integrals of multiplicities 1 to 3 with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process is formulated and proved. The results of the article can be applied to implementation of exponential Milstein and Wagner-Platen methods for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

研究动机与目标

• 解决在非交换性半线性SPDEs中，对无限维 $Q$-维纳过程的多重性为1至3的迭代随机积分进行数值逼近的挑战。
• 克服先前方法在高阶格式中需要交换性条件的局限性。
• 通过结合有限维 $Q$-维纳过程逼近与广义多重傅里叶级数，建立逼近这些积分的均方收敛框架。
• 在一般非交换条件下，实现具有乘法迹类噪声的SPDEs的强指数米尔斯坦与沃格纳-普拉滕格式的实现。

提出的方法

• 利用广义多重傅里叶–勒让德级数逼近关于标量布朗运动的迭代伊藤随机积分，并将其扩展至无限维 $Q$-维纳过程。
• 引入两部分误差分解：一部分来自 $Q$-维纳过程的有限维逼近，另一部分来自迭代伊藤积分的逼近。
• 应用广义多重傅里叶级数理论，控制多重性为1至3的积分的第二部分逼近误差。
• 将 $Q$-维纳过程截断引起的误差第一部分的新逼近方法，与先前关于多重傅里叶–勒让德级数的成果相结合，用于第二部分。
• 通过控制算子范数和 $Q$ 的特征值衰减，建立逼近的均方收敛性。
• 推导出误差界 $C(T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha}$，表明随着截断水平 $M$ 的增加，收敛性得以实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换性SPDEs中，对无限维 $Q$-维纳过程的多重性为1至3的迭代随机积分实现均方收敛逼近？
• RQ2 当 $Q$-维纳过程在有限维上截断时，逼近误差的结构是什么？
• RQ3 广义多重傅里叶–勒让德级数方法能否扩展以处理 $Q$-维纳过程逼近中误差的第一部分？
• RQ4 在何种条件下，可确保非交换性SPDEs与迹类噪声下指数米尔斯坦与沃格纳-普拉滕格式的均方收敛性？
• RQ5 误差界如何随时间区间长度和协方差算子 $Q$ 的特征值衰减而变化？

主要发现

• 本文建立了关于无限维 $Q$-维纳过程的多重性为1至3的迭代随机积分逼近的均方收敛性定理。
• 证明了 $Q$-维纳过程截断分量的逼近误差界为 $O((T-t)^3 (\sup_{i \in J \setminus J_M} \lambda_i)^{2\alpha})$。
• 指数米尔斯坦格式实现了强收敛阶 $1.0 - \varepsilon$，沃格纳-普拉滕格式实现了 $1.5 - \varepsilon$，其中 $\varepsilon > 0$ 为任意正数。
• 该方法使得在无需对SPDE系数施加交换性条件的情况下实现高阶格式成为可能。
• 收敛性分析表明，由于算子 $Q$ 的特征值 $\lambda_i$ 的衰减，逼近误差随截断水平 $M$ 的增加而减小。
• 理论框架支持使用多重傅里叶–勒让德级数，以高效且精确地求解具有乘法迹类噪声的非交换性半线性SPDEs。