[论文解读] Application of the Direct Combined Approach to Expansion of Double Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文提出了一种直接结合的方法，利用广义多重和重复傅里叶级数展开双伊藤斯特拉托诺维奇随机积分。该方法在均方意义下建立了展开两部分的收敛性：第一部分通过 $[t, T]^2$ 上的 $L_2$-收敛级数实现，第二部分通过逐点收敛的重复级数实现，且通过经典分析方法验证了迭代极限过程的合理性。该方法可提升伊藤随机微分方程的数值积分精度。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of double Stratonovich stochastic integrals on the base of the direct combined approach of generalized multiple Fourier series. We consider two different parts of the expansion of double Stratonovich stochastic integrals. The mean-square convergence of the first part is proven on the base of generalized multiple Fourier series, converging in $L_2([t, T]^2).$ The mean-square convergence of the second part is proven on the base of double generalized repeated Fourier series, converging pointwise. At that, we prove the iterative limit transition for the second part on the base of the classical theorems of mathematical analysis. The results of the article can be applied to numerical integration of Ito stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种基于广义傅里叶级数的系统化展开方法，用于双斯特拉托诺维奇随机积分。
• 通过 $L_2([t, T]^2)$-收敛的广义多重傅里叶级数，建立展开第一部分的均方收敛性。
• 通过双重广义重复傅里叶级数，证明展开第二部分的逐点收敛性。
• 利用经典数学分析定理，验证第二部分迭代极限过程的合理性。
• 为伊藤随机微分方程的数值积分提供一种可计算的框架。

提出的方法

• 展开的第一部分采用 $L_2([t, T]^2)$ 中的广义多重傅里叶级数，表示双斯特拉托诺维奇积分。
• 展开的第二部分采用双重广义重复傅里叶级数表示积分，确保逐点收敛。
• 通过基于经典分析定理的迭代极限过程，严格证明第二部分的收敛性。
• 将两种级数表示方法整合为统一的双斯特拉托诺维奇积分展开框架。
• 利用正交函数系，确保在均方与逐点意义下的稳定性与收敛性。
• 该框架专为伊藤随机微分方程数值求解方案的实际应用而设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义傅里叶级数对双斯特拉托诺维奇随机积分进行展开，并保证收敛性？
• RQ2 在 $L_2([t, T]^2)$ 空间中，何种条件可确保展开第一部分的均方收敛性？
• RQ3 如何通过重复傅里叶级数建立展开第二部分的逐点收敛性？
• RQ4 迭代极限过程在验证第二部分收敛性中起到何种作用？
• RQ5 该展开方法在何种程度上可提升伊藤随机微分方程的数值积分性能？

主要发现

• 展开第一部分在 $L_2([t, T]^2)$ 空间中，通过广义多重傅里叶级数实现均方收敛。
• 展开第二部分通过双重广义重复傅里叶级数实现逐点收敛。
• 第二部分的迭代极限过程通过经典数学分析定理得到严格验证。
• 收敛性结果在被积函数与正交基函数的一般条件下成立。
• 所提方法为双斯特拉托诺维奇积分的近似提供了一种可靠且可数值实现的框架。
• 该方法可提升伊藤随机微分方程数值求解的精度与稳定性。