研究动机与目标

提出的方法

在 $L_2([t,T]^k)$，$k=1,\dots,5$ 中，采用广义多重傅里叶-勒让德级数对重复斯特拉托诺维奇积分进行均方逼近。
基于勒让德多项式构造正交展开，以表示随机积分，确保在 $L_2$-范数下的收敛性。
通过与勒让德基函数的积分，推导出傅里叶系数 $C_{j_k\dots j_1}^{(i_1\dots i_k)}$ 的显式公式。
应用泰勒-斯特拉托诺维奇展开，将SDE解表示为重复积分的形式，从而支持高阶数值格式。
通过 $L_2$-范数估计建立误差界，表明均方误差以 $\mathcal{O}(\Delta^2/q)$ 的速率衰减，其中 $q$ 为有限值。
通过解析误差表达式验证该方法，例如 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$，其中 $K$ 与 $\Delta$ 无关。

该方法实现了形式为 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(i_1\dots i_k)} - I^{*}_{(i_1\dots i_k)q}\right)^2\right] \leq K\frac{\Delta^2}{q}$ 的均方误差界，其中 $K$ 与 $\Delta$ 无关，确保了稳健的收敛性。
当 $k=3$ 时，$\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(000)} - I^{*}_{(000)6}\right)^2\right] \approx 0.01956\Delta^3$（$q=6$），表明对三重积分具有高精度。
当 $k=3$ 且 $i_1=1, i_2=0, i_3=0$ 时，$q=2$ 时的误差 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(100)} - I^{*}_{(100)2}\right)^2\right] \approx 0.008154\Delta^5$，表明在非对称情况下收敛迅速。
该方法提供了显式误差表达式，如 $\frac{\Delta^5}{60} - \sum_{j_1,j_2,j_3=0}^{2} \left(C_{j_3j_2j_1}^{100}\right)^2 \approx 0.008154\Delta^5$，从而实现精确的误差控制。
当 $k=5$ 时，$q=1$ 时的误差 $\mathbb{E}\left[\left(I^{*}_{(00000)} - I^{*}_{(00000)1}\right)^2\right] \approx 0.007591\Delta^5$，表明即使在低 $q$ 下也表现出强劲性能。
该方法使得能够构建具有多维非交换噪声的伊藤SDE的显式强数值格式，阶数为2.5，其核心是利用泰勒-斯特拉托诺维奇展开。