[论文解读] Expansion of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于广义多重傅里叶级数的五重乘次多重伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分的新展开方法。通过利用斯特拉托诺维奇积分相较于伊藤积分更简单的结构——后者展开式被用作证明工具——该方法使得通过泰勒-斯特拉托诺维奇展开实现随机微分方程的更高效数值积分成为可能。

ABSTRACT

This article is devoted to the expansion of multiple Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity, based on the method of generalized multiple Fourier series. We consider the expansion of multiple Ito stochastic integrals of fifth multiplicity (based on generalized multiple Fourier series) as the tool of the proof of the expansion for multiple Stratonovich stochastic integrals. As it turned out, expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals are essentially simpler than expansions of multiple Ito stochastic integrals. The multiple Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion. That is why the results of the article can be useful for numerical integrations of Ito or Stratonovich stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种高效展开五重乘次多重斯特拉托诺维奇随机积分的方法。
• 利用斯特拉托诺维奇积分相较于伊藤积分在结构上的简洁性，实现更有效的展开技术。
• 通过改进的泰勒-斯特拉托诺维奇展开，支持伊藤和斯特拉托诺维奇随机微分方程的数值积分。
• 通过将傅里叶级数方法推广至多重随机积分，为高阶数值格式的构建奠定基础。

提出的方法

• 以广义多重傅里叶级数作为展开的核心分析框架。
• 依赖于五重乘次多重伊藤随机积分的展开作为斯特拉托诺维奇积分展开的证明机制。
• 应用正交展开，以傅里叶系数表示多重斯特拉托诺维奇积分。
• 利用伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分之间的关系，推导出斯特拉托诺维奇情形的更简形式。
• 在展开过程中采用正交归一化系统，以确保收敛性和数值稳定性。
• 推导出与五重乘次积分相关的傅里叶系数的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义傅里叶级数展开五重乘次多重斯特拉托诺维奇随机积分？
• RQ2 斯特拉托诺维奇积分结构相较于伊藤积分在展开复杂度方面具有哪些优势？
• RQ3 五重乘次伊藤积分的展开能否作为推导斯特拉托诺维奇积分展开的有效工具？
• RQ4 该方法在多大程度上提升了随机微分方程的数值积分性能？
• RQ5 广义多重傅里叶级数在简化高乘次随机积分表示方面起到何种作用？

主要发现

• 五重乘次多重斯特拉托诺维奇随机积分可有效利用广义多重傅里叶级数展开。
• 由于其结构特性，斯特拉托诺维奇积分的展开在本质上比伊藤积分更简单。
• 该方法借助伊藤积分展开作为证明工具，验证了其在斯特拉托诺维奇积分中的适用性。
• 所推导的展开式可直接应用于随机微分方程的泰勒-斯特拉托诺维奇展开。
• 研究结果为构建随机微分方程的高阶数值格式提供了基础。
• 广义傅里叶级数的使用确保了收敛性，并支持积分的实际数值实现。