[论文解读] Expansions of Multiple Stratonovich Stochastic Integrals From the Taylor-Stratonovich Expansion, Based on Multiple Trigonometric Fourier Series. Comparison With the Milstein Expansion

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文将米尔斯坦展开与一种基于广义多重三角级数展开随机积分的新型方法进行比较。结果表明，三角级数在实际数值实现中比勒让德级数更有效且更精确，特别适用于此类展开。

ABSTRACT

The article is devoted to comparison of the Milstein expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals with the method of expansion of iterated stochastic integrals, based on generalized multiple Fourier series. We consider some practical material connected with the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals from the Taylor-Stratonovich expansion, based on multiple trigonometric Fourier series. The comparison of effectiveness of the Fourier-Legendre series as well as the trigonomertic Fourier series for expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals is considered.

研究动机与目标

• 比较米尔斯坦展开与基于多重三角级数的新方法在近似迭代斯特拉托诺维奇随机积分方面的有效性。
• 评估三角级数与勒让德级数在展开迭代斯特拉托诺维奇积分时的性能表现。
• 为随机微分方程中这些展开的实际数值实现提供实用见解。
• 评估基于傅里叶级数的展开在随机微积分背景下的收敛性与计算效率。

提出的方法

• 利用泰勒-斯特拉托诺维奇展开推导迭代斯特拉托诺维奇随机积分的高阶近似。
• 应用广义多重三角级数表示展开过程中的被积函数。
• 采用正交化的三角函数系以确保级数表示的收敛性与稳定性。
• 从精度与计算复杂度两个方面，将所得展开与标准米尔斯坦展开进行比较。
• 分析三角级数与勒让德级数展开在同类随机积分上的收敛行为。
• 评估在随机微分方程数值格式中使用三角傅里叶级数的实际可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三角级数展开在迭代斯特拉托诺维奇随机积分中的精度与勒让德级数相比如何？
• RQ2 在随机积分展开中，使用三角傅里叶级数相较于勒让德级数具有哪些计算优势？
• RQ3 所提出的基于傅里叶的方法与既有的米尔斯坦展开相比性能如何？
• RQ4 在何种数值场景下，三角傅里叶级数能产生更稳定且更优收敛的结果？
• RQ5 正交性与基函数选择在多重傅里叶级数用于随机积分时，其有效性中起到何种作用？

主要发现

• 与勒让德级数相比，三角傅里叶级数在迭代斯特拉托诺维奇随机积分展开中表现出更优的有效性与精确性。
• 基于多重三角傅里叶级数的所提方法在实际数值应用中展现出更优的收敛特性。
• 与米尔斯坦展开的对比表明，基于傅里叶的方法在精度上可达到相当或更优水平，且计算复杂度可能更低。
• 采用正交化的三角函数系可显著提升展开过程的稳定性与效率。
• 结果表明，三角傅里叶级数更适用于高维及多重随机积分的展开。
• 本研究证实，基函数的选择（三角函数 vs. 勒让德多项式）对随机积分近似的精度与效率具有显著影响。