[论文解读] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4. Combained Approach Based on Generalized Multiple and Repeated Fourier series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 15

一句话总结

本文提出了一种新颖的组合方法，利用广义多重和迭代傅里叶级数展开阶数为1至4的迭代伊藤斯特拉托诺维奇随机积分。该方法在不依赖伊藤积分的前提下，建立了展开两部分的均方收敛性——多重级数采用$L_2$-范数收敛，迭代级数采用逐点收敛——并仅通过一次极限过渡，实现了对伊藤随机微分方程的高效数值逼近。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the base of the combined approach of generalized multiple and iterated Fourier series. We consider two different parts of the expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals. The mean-square convergence of the first part is proved on the base of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ The mean-square convergence of the second part is proved on the base of generalized iterated Fourier series that are converge pointwise. At that, we do not use the iterated Ito stochastic integrals as a tool of the proof and directly consider the iterated Stratonovich stochastic integrals. The cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series are considered in detail. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种统一方法，用于展开阶数为1至4的迭代斯特拉托诺维奇随机积分。
• 在收敛性证明中避免依赖迭代伊藤积分为中间工具。
• 通过仅使用一次极限过渡的广义多重和迭代傅里叶级数，确保均方收敛。
• 将该方法应用于伊藤随机微分方程的数值积分。
• 比较傅里叶-勒让德级数与三角多项式多重级数在展开框架下的性能与收敛行为。

提出的方法

• 在$L_2([t, T]^k)$中使用广义多重傅里叶级数（$k=1,2,3,4$）表示展开的第一部分。
• 采用广义迭代傅里叶级数表示第二部分，确保逐点收敛。
• 将组合方法应用于傅里叶-勒让德级数与三角多项式多重级数展开。
• 通过希尔伯特空间$L_2$中的范数收敛（多重级数）与逐点收敛（迭代级数）建立收敛性。
• 避免将积分转化为伊藤积分，直接通过基于傅里叶的近似分析斯特拉托诺维奇积分。
• 将极限过渡次数减少至一次，显著提升了数值格式的计算效率与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义傅里叶级数展开阶数为1至4的迭代斯特拉托诺维奇随机积分？
• RQ2 所提出的展开分量的收敛行为如何？特别是$L_2$-范数收敛与逐点收敛的表现？
• RQ3 该方法是否能在不依赖迭代伊藤积分为中间步骤的前提下实现均方收敛？
• RQ4 傅里叶-勒让德级数与三角多项式多重级数在逼近精度与收敛速度方面有何差异？
• RQ5 单次极限过渡在多大程度上提升了随机积分的数值稳定性与计算效率？

主要发现

• 展开的第一部分通过广义多重傅里叶级数在希尔伯特空间$L_2([t, T]^k)$（$k=1,2,3,4$）中实现均方收敛。
• 展开的第二部分通过广义迭代傅里叶级数实现逐点收敛，确保了实际逼近中的鲁棒性。
• 该方法仅通过一次极限过渡即实现收敛，相较于现有方法需多次过渡，具有显著优势。
• 由于具备稳定性与收敛性保障，该方法可直接应用于伊藤随机微分方程的数值求解。
• 对傅里叶-勒让德级数与三角多项式多重级数的联合使用进行了严格分析，表明其在不同基函数下均具适用性。
• 该框架在证明过程中无需将斯特拉托诺维奇积分转换为伊藤积分，简化了理论推导并提升了计算效率。