[论文解读] Explicit One-Step Strong Numerical Methods of Orders 2.0 and 2.5 for Ito Stochastic Differential Equations Based on the Unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文提出了一类显式单步强数值方法，阶数分别为 2.0 和 2.5，用于求解具有多维非交换噪声的 Ito 随机微分方程，采用统一的 Taylor–Ito 和 Taylor–Stratonovich 展开。该方法利用广义多重 Fourier–Legendre 级数近似计算多重性为 1 至 5 的迭代 Ito 和 Stratonovich 随机积分，实现了高精度的均方收敛，并对各种积分类型提供了显式的误差估计。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of explicit one-step strong numerical methods with the orders 2.0 and 2.5 of convergence for Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noise. We consider the numerical methods based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions. For the numerical modeling of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 5 we apply the method of multiple Fourier-Legendre series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,\ldots,5$. The article is addressed to engineers who use numerical modeling in stochastic control and for solving the non-linear filtering problem. The article will be interesting to scientists who working in the field of numerical integration of stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 为具有非交换噪声的多维 Ito 随机微分方程开发显式单步强数值方法，阶数为 2.0 和 2.5。
• 解决对多重性达 5 的迭代 Ito 和 Stratonovich 随机积分进行高精度均方近似的挑战。
• 统一 Taylor–Ito 和 Taylor–Stratonovich 展开，以构建高阶数值格式。
• 通过广义多重 Fourier–Legendre 级数，提供计算上可行且数值稳定的随机积分近似方法。

提出的方法

• 利用统一的 Taylor–Ito 和 Taylor–Stratonovich 展开，推导 Ito SDEs 的高阶数值格式。
• 在 $L_2([t,T]^k)$ 中应用广义多重 Fourier 级数，对多重性为 1 至 5 的迭代 Ito 和 Stratonovich 随机积分进行近似。
• 采用多重 Fourier–Legendre 级数展开，以希尔伯特空间范数意义下表示随机积分。
• 推导出迭代积分 Fourier–Legendre 展开中系数 $C_{j_k o j_1}^{(i_1 o i_k)}$ 的显式公式。
• 利用 Ito 与 Stratonovich 积分之间的关系，推导混合类型积分的误差估计。
• 通过依赖于展开项数 $q$ 和时间步长 $\Delta$ 的均方误差界验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非交换噪声的多维 Ito SDEs 构造显式单步强数值方法，阶数为 2.0 和 2.5？
• RQ2 对多重性为 1 至 5 的迭代 Ito 和 Stratonovich 随机积分，如何实现高精度近似？
• RQ3 Fourier–Legendre 级数近似的均方误差如何随项数 $q$ 和时间步长 $\Delta$ 变化？
• RQ4 基于 Taylor–Ito 和 Taylor–Stratonovich 展开的统一框架能否生成稳定且收敛的高阶格式？
• RQ5 对特定迭代积分如 $I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ 和 $I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ 的近似，其显式误差界是什么？

主要发现

• 该方法利用统一的 Taylor 展开，对具有多维非交换噪声的 Ito SDEs 实现了 2.0 和 2.5 阶的强收敛。
• 对近似迭代 Ito 和 Stratonovich 积分的均方误差给出了显式上界，示例显示误差阶数为 $\Delta^3$、$\Delta^4$ 和 $\Delta^5$，具体取决于多重性和系数数量。
• 对于 $I_{(000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ 且 $q=6$ 的情形，均方误差约为 $0.01956\Delta^3$，表明具有高精度。
• 对于 $I_{(100) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3)}$ 且 $q=2$ 的情形，误差约为 $0.00815\Delta^5$，证实了五阶收敛行为。
• 对于 $I_{(00000) au_{p+1}, au_p}^{*(i_1 i_2 i_3 i_4 i_5)}$ 且 $q=1$ 的情形，误差被控制在 $\approx 0.00759\Delta^5$ 以内，表明在高多重性下仍具有效近似能力。
• 误差估计中的常数 $C$ 不依赖于 $q$，从而可在不同截断阶数下实现稳定的误差控制。