[论文解读] Four New Forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich Expansions and its Application to the High-Order Strong Numerical Methods for Ito Stochastic Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文提出了伊藤随机微分方程的四种新型统一形式的泰勒–伊藤与泰勒–斯特朗诺维奇展开，最大限度地减少了所需迭代随机积分的数量。通过利用最高至六重的广义多重傅里叶–勒让德级数，作者推导出收敛阶为1.0、1.5、2.0、2.5和3.0的高阶强数值格式，实现了对复杂随机积分的高效均方逼近，这对于非交换噪声SDE的精确数值模拟至关重要。

ABSTRACT

The problem of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions of the Ito stochastic processes in a neighborhood of a fixed moment of time is considered. The classical forms of the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are transformed to the four new representations, which includes the minimal sets of different types of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals. Therefore, these representations (the so-called unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions) are more convenient for constructing of high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations. Explicit one-step strong numerical schemes with the orders of convergence 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, and 3.0 based on the unified Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions are derived. Effective mean-square approximations of iterated Ito and Stratonovich stochastic integrals from these numerical schemes are constructed on the base of the multiple Fourier-Legendre series with multiplicities 1 to 6.

研究动机与目标

• 解决在具有非交换噪声的伊藤SDE高阶强数值格式中，对迭代伊藤与斯特朗诺维奇随机积分缺乏高效均方逼近方法的问题。
• 通过最小化所需不同迭代随机积分的数量，降低经典泰勒–伊藤与泰勒–斯特朗诺维奇展开的复杂度。
• 开发统一的展开形式，以简化高阶强数值方法在伊藤SDE中的构建过程。
• 利用多重性为1至6的广义多重傅里叶–勒让德级数，提供迭代随机积分的严格均方逼近。
• 通过收敛性分析和与龙–萨凯近似理论的联系，验证所提出的格式。

提出的方法

• 通过重新组织经典展开形式，推导出两种新型统一的泰勒–伊藤展开，以最小化所需迭代伊藤随机积分的集合。
• 采用类似的最小化策略，推导出两种新型统一的泰勒–斯特朗诺维奇展开，用于迭代斯特朗诺维奇积分。
• 基于统一展开形式，构建显式单步强数值格式，其阶数分别为1.0、1.5、2.0、2.5和3.0。
• 利用多重性为1至6的广义多重傅里叶–勒让德级数，实现对迭代随机积分的有效均方逼近。
• 应用龙–萨凯近似框架，证明基于傅里叶级数的逼近可收敛至真实随机积分。
• 通过关于维纳过程增量的傅里叶级数展开的均方逼近与l.i.m.（均方极限）收敛性的定理，建立理论收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典泰勒–伊藤与泰勒–斯特朗诺维奇展开如何被重新表述，以最小化高阶数值格式中所需的不同迭代随机积分数量？
• RQ2 何种最优结构的统一泰勒–伊藤与泰勒–斯特朗诺维奇展开能够实现伊藤SDE高阶强数值方法的高效实现？
• RQ3 多重性最高达6的广义多重傅里叶–勒让德级数能否为迭代伊藤与斯特朗诺维奇随机积分提供有效且稳定的均方逼近？
• RQ4 在高阶强数值积分的背景下，所提出的统一展开形式与经典形式相比，在效率和精度方面表现如何？
• RQ5 基于傅里叶级数的随机积分逼近在均方意义下的收敛程度如何？它们与龙–萨凯近似之间有何关联？

主要发现

• 本文成功推导出两种新型统一的泰勒–伊藤展开形式，其使用所需迭代伊藤随机积分的集合最小化，显著简化了数值实现。
• 引入了两种新型统一的泰勒–斯特朗诺维奇展开形式，同样最小化了所需迭代斯特朗诺维奇积分的数量。
• 基于统一展开形式，构建了阶数为1.0、1.5、2.0、2.5和3.0的显式单步强数值格式，实现了伊藤SDE的高精度模拟。
• 通过使用多重性为1至6的广义多重傅里叶–勒让德级数，实现了对迭代伊藤与斯特朗诺维奇随机积分的有效均方逼近。
• 通过l.i.m.收敛性建立了傅里叶级数逼近的理论收敛性，其严谨性由连接至龙–萨凯近似的定理提供支持。
• 结果表明，所提出的逼近方法与标准的伊藤–斯特朗诺维奇关系一致，并能为具有非交换噪声的SDE提供精确的数值解。