[论文解读] New Simple Method of Expansion of Iterated Ito Stochastic integrals of Multiplicity 2 Based on Expansion of the Brownian Motion Using Legendre Polynomials and Trigonometric Functions

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新的、简化的方法，用于通过勒让德多项式和三角函数展开布朗运动的二重伊藤随机积分的展开。关键贡献是利用勒让德多项式对列维随机面积提出了新颖的多项式表示，其形式比经典的三角函数表示更简单，并且随着展开阶数的增加，能保证均方收敛和几乎必然收敛。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansion of iterated Ito stochastic integrals of second multiplicity based on expansion of the Brownian motion (standard Wiener process) using complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]).$ The cases of Legendre polynomials and trigonometric functions are considered in details. We obtained a new representation of the Levy stochastic area based on the Legendre polynomials. This representation was first derived in the author's work (1997). In this article, we obtain the mentioned representation by a simpler method compared to the author's work (1997). Also, we get the polynomial representation of the Levy stochastic area using the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multple Fourier series. The polynomial representation of the Levy stochastic area has more simple form in comparison with the classical trigonometric representation of the Levy stochastic area. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n\in\mathbb{N})$ as well as the convergence with probability 1 for approximations of the Levy stochastic area are proved. The results of the article can be applied to the numerical solution of Ito stochastic differential equations as well as to the numerical approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种新的、更简单的二重伊藤随机积分展开方法。
• 利用勒让德多项式推导列维随机面积的多项式表示，改进经典三角函数形式。
• 建立列维随机面积近似值的均方收敛和几乎必然收敛性。
• 实现对伊藤随机微分方程和非交换半线性SPDE的温和解更高效的数值求解。

提出的方法

• 在 $L_2([t,T])$ 中使用布朗运动的完备正交系展开，具体为勒让德多项式和三角函数。
• 应用广义多重傅里叶级数来表示二重伊藤随机积分。
• 通过勒让德多项式展开推导列维随机面积的新表示，避免了复杂的三角级数。
• 利用恒等式 $I_{T,t}^{(i_1i_2)} = \frac{1}{2}I_{T,t}^{(i_1)}I_{T,t}^{(i_2)} + A_{T,t}^{(i_1i_2)}$ 将迭代积分与列维面积联系起来。
• 通过独立标准正态随机变量的有限和构造近似值 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 和 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$。
• 采用矩估计和级数收敛性论证，证明当 $q \to \infty$ 时，$L^{2n}$ 范数和几乎必然收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过布朗运动的勒让德多项式展开，推导出更简单且更高效的列维随机面积表示？
• RQ2 基于勒让德多项式的列维面积多项式表示在复杂度和收敛性方面与经典三角函数表示相比如何？
• RQ3 基于勒让德多项式的近似值在二重伊藤积分中的均方收敛和几乎必然收敛速率是多少？
• RQ4 该新方法能否用于改进伊藤SDE和SPDE的数值格式？

主要发现

• 本文通过勒让德多项式推导出列维随机面积的新多项式表示，其形式比经典三角函数形式更简单。
• 近似值 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 的均方误差被界为 $C_1 \frac{(T-t)^2}{q}$，表明其具有 $O(1/q)$ 的收敛速度。
• 另一种近似值 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 的均方误差被界为 $C_2 \frac{(T-t)^2}{q}$，同样表明其具有 $O(1/q)$ 的收敛速度。
• $L^{2n}$-范数的误差随着 $q \to \infty$ 而趋于零，其界涉及依赖于 $n$ 和 $k=2$ 的常数 $C_{n,2}$。
• 利用Borel-Cantelli引理和矩级数的可和性，证明了两个近似值 $A_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 和 $\hat{A}_{T,t}^{(i_1i_2)q}$ 几乎必然收敛到真实的列维面积。
• 与1997年的早期工作相比，该方法提供了更直接、更简化的勒让德基表示推导。