[论文解读] Nijenhuis-type variants of Local Theory of Background Independence

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了一种Nijenhuis型的背景独立性局部理论推广，以Schouten–Nijenhuis括号和Nijenhuis–Lie导数取代李理论结构，重新表述了规范引力中的关系性、约束闭包与可观测量。主要贡献在于构建了一个新的代数框架——约束与可观测量的Gerstenhaber代数，实现了广义的Dirac型算法、形变量子化路径以及诸如刚性与RIO不变性等新选择原则。

ABSTRACT

A local resolution of the Problem of Time has recently been given, alongside reformulation as a local theory of Background Independence. The classical part of this can be viewed as requiring just Lie's Mathematics, albeit entrenched in subsequent Topology and Differential Geometry developments and extended to the setting of contemporary Physics' state spaces. We now generalize this approach by mild recategorization to one based on Nijenhuis' generalization of Lie's Mathematics, as follows. 1) Relationalism is encoded using the Nijenhuis-Lie derivative. 2) Closure is assessed using the Schouten-Nijenhuis bracket, and a `Schouten-Nijenhuis Algorithm' analogue of the Dirac and Lie Algorithms. This produces a class of Gerstenhaber algebraic structures of generators or of constraints. 3) Observables are defined by a Schouten--Nijenhuis brackets relation, reformulating the constrained canonical case as explicit PDEs to be solved using the Flow Method, and forming their own Gerstenhaber algebras of observables. Lattices of Schouten-Nijenhuis-Gerstenhaber constraint or generator algebraic substructures furthermore induce dual lattices of Gerstenhaber observables subalgebras. 4) Deformation of Gerstenhaber algebraic structures of generators or constraints encountering Rigidity gives a means of Constructing more structure from less. 5) Reallocation of Intermediary-Object Invariance gives the general Schouten-Nijenhuis-Gerstenhaber algebraic structure's analogue of posing Refoliation Invariance for GR. We finally point to general Gerstenhaber bracket and Vinogradov bracket generalizations, with the former likely to play a significant role in Backgound-Independent Deformation Quantization and Quantum Operator Algebras.

研究动机与目标

• 通过用Nijenhuis数学（特别是Schouten–Nijenhuis括号）替代李理论结构，推广局部背景独立性理论。
• 利用Nijenhuis–Lie导数与Schouten–Nijenhuis括号，在规范引力中重新表述关系性、约束闭包与可观测量。
• 构建一个新代数框架——约束与可观测量的Gerstenhaber代数，扩展Dirac与李算法范式。
• 在Nijenhuis框架中识别出如刚性与中介物重分配（RIO）不变性等新选择原则。
• 通过Vinogradov与一般Gerstenhaber括号，为形变量子化与量子算子代数的未来应用奠定基础。

提出的方法

• 利用多向量场上的Schouten–Nijenhuis（SN）括号推广李理论结构，通过Nijenhuis–Lie导数编码关系性。
• 将SN括号应用于定义一种‘Schouten–Nijenhuis算法’，其类比于Dirac与李算法，用于约束闭包。
• 通过与生成元的SN括号为零来定义可观测量，将其重新表述为可通过流法求解的显式PDE。
• 为约束构造SNG代数子结构的格，为可观测量构造对偶格，形成Gerstenhaber代数。
• 在刚性条件下（H²(g^NSG, g^NSG) = 0）引入SNG代数结构的形变，作为从较少结构构造更丰富结构的手段。
• 提出RIO不变性作为SNG代数结构的可交换五边形条件，推广广义相对论中的重 foliation 不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nijenhuis数学如何用于在超越李理论基础的前提下推广局部背景独立性理论？
• RQ2 Schouten–Nijenhuis括号在规范引力中重新表述约束闭包与可观测量时起什么作用？
• RQ3 能否利用Schouten–Nijenhuis括号与Nijenhuis–Lie导数构建广义的Dirac型算法？
• RQ4 刚性与RIO不变性在Nijenhuis代数框架中如何作为选择原则发挥作用？
• RQ5 Vinogradov与一般Gerstenhaber括号在将此框架扩展至形变量子化与量子算子代数方面具有何种潜力？

主要发现

• Nijenhuis–Lie导数为规范引力中的关系性提供了新机制，以配置变化替代时间依赖速度。
• 引入了‘Schouten–Nijenhuis算法’，作为Dirac与李算法的推广，通过SN括号实现系统化的约束闭包。
• 可观测量通过与生成元的SN括号为零来定义，形成其自身的Gerstenhaber代数，支持通过流法求解。
• 约束的SNG代数子结构格诱导可观测量的对偶格，形成Gerstenhaber代数，揭示出深刻的代数对偶性。
• 在刚性条件（H²(g^NSG, g^NSG) = 0）下对SNG代数结构的形变，提供了从简单结构构造更丰富代数结构的机制。
• RIO不变性被推广为SNG代数结构的可交换五边形条件，提供了一种类似于广义相对论中重 foliation 不变性的新选择原则。