[论文解读] Strong Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series. Application to Numerical Solution of Ito SDEs and Semilinear SPDEs

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Mar 28, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 111被引用 13

一句话总结

本论文提出了一种新颖的方法，利用 L²([t,T]^k) 中的广义多重傅里叶级数，对任意阶次的迭代伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分进行强（均方）逼近。通过利用勒让德多项式和三角函数等正交系，该方法实现了对具有迹类噪声的伊藤 SDE 和半线性 SPDE 的高阶数值求解，强收敛阶数达到 1.0 至 3.0，且通过误差公式简化显著降低了计算成本。

ABSTRACT

The book is devoted to the strong approximation of iterated stochastic integrals (ISIs) in the context of numerical integration of Ito SDEs and non-commutative semilinear SPDEs with nonlinear multiplicative trace class noise. The monograph opens up a new direction in researching of ISIs. For the first time we successfully use the generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in $L_2([t, T]^k)$ for the expansion and strong approximation of Ito ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). This result has been adapted for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 8 (the case of continuously differentiable weight functions and a CONS of Legendre polynomials or trigonometric functions in $L_2([t, T])$) and for Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 (the case of continuous weight functions and an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$) (Chapter 2), as well as for some other types of iterated stochastic integrals (Chapter 1). Recently (in 2024), the mentioned adaptation has also been carried out for Stratonovich ISIs of multiplicity $k$ $(k\in{\bf N})$ for the case of an arbitrary CONS in $L_2([t, T])$ (Theorems 2.59, 2.61) but under one additional condition. We derived the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of Ito ISIs of multiplicity $k$, $k\in{\bf N}$ (Chapter 1). We provided a significant practical material (Chapter 5) devoted to the expansions of specific Ito and Stratonovich ISIs of multiplicities 1 to 6 from the Taylor-Ito and Taylor-Stratonovich expansions (Chapter 4) using the CONS of Legendre polynomials and the CONS of trigonometric functions. The methods formulated in this book have been compared with some existing methods (Chapter 6). The results of Chapter 1 were applied (Chapter 7) to the approximation of ISIs of multiplicity $k,$ $k\in{\bf N}$ with respect to the $Q$-Wiener process.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于对任意阶次 k ∈ ℕ 的迭代伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分进行强逼近。
• 实现对具有乘法迹类噪声的非交换半线性 SPDE 和伊藤 SDE 的高阶数值积分。
• 通过简化误差公式降低计算成本，实践中将误差表达式中的阶乘乘子替换为线性项。
• 将该方法扩展至有限维和无限维 Q-维纳过程，以实现实际数值实现。
• 为 SDE 和 SPDE 提供统一的泰勒-伊藤与泰勒-斯特拉托诺维奇展开框架。

提出的方法

• 在 L²([t,T]^k) 中使用广义多重傅里叶级数，对任意阶次的迭代伊藤随机积分进行展开与强逼近。
• 应用完备正交系——勒让德多项式与三角函数——实现在希尔伯特空间 L²([t,T]) 中的收敛。
• 引入积分阶次替换技术，适用于迭代伊藤随机积分类，并将其推广至基于鞅的积分。
• 提出两种新型的泰勒-伊藤与泰勒-斯特拉托诺维奇展开形式（统一展开），以提升数值精度。
• 使用 Python 软件实现该方法，预计算傅里叶-勒让德系数（270,000 项）以实现高效数值模拟。
• 将该方法应用于对有限维 WM^t 和无限维 Q-维纳过程 Wt 的积分逼近，阶次为 1 至 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 L²([t,T]^k) 中的广义多重傅里叶级数，实现对任意阶次的迭代伊藤和斯特拉托诺维奇随机积分的强（均方）逼近？
• RQ2 阶次为 1 至 6 的迭代伊藤和斯特拉托诺维奇积分的均方逼近误差的精确形式为何？
• RQ3 如何在不牺牲收敛阶数的前提下降低这些积分逼近的计算成本？
• RQ4 在实际应用中，误差公式中的阶乘项在多大程度上可以被简化，特别是误差表达式中的阶乘项？
• RQ5 该方法能否扩展至使用高阶泰勒型展开求解具有迹类噪声的半线性 SPDE 的数值解？

主要发现

• 本文推导出任意阶次 k ∈ ℕ 的迭代伊藤随机积分的均方逼近误差的精确表达式。
• 对于阶次为 1 至 4 的迭代斯特拉托诺维奇积分，推导出精确的误差表达式，从而可在数值方案中实现精确的误差控制。
• 通过统一的泰勒-伊藤与泰勒-斯特拉托诺维奇展开，该方法实现了 1.0、1.5、2.0、2.5 和 3.0 的强收敛阶数。
• 计算实验表明，误差公式中的阶乘乘子 k!（例如 (1.153) 式）在实际应用中可被忽略，从而显著降低计算成本。
• 在实际计算中，误差公式 (7.32) 中的乘子 (k!)² 可被 k! 替代而不会损失精度。
• 推导出针对有限维与无限维 Q-维纳过程积分的逼近误差理论界，结果表明在适当条件下收敛速率为 O((sup_{i∈J extbackslash JM} λ_i)^{2α}(T−t)^3)。