[論文レビュー] A Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann model for the coupled Burgers' equations

Ying Chen, Xi Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2023

Lattice Boltzmann Simulation StudiesEngineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形対流項を除去するためにCole-Hopf変換を適用し、補助変数θの観点から系を拡散方程式に変換することで、d次元の結合 Burgers' 方程式に対する4次精度の多重緩和時間格子ボルツマンモデルを提案する。モデルは修正されたMaxwell反復解析と非平衡分布関数の再構築により4次空間精度を達成し、複数のテストケースにおいて一貫した4次収束率で数値的に検証されている。

ABSTRACT

In this work, a Cole-Hopf transformation based fourth-order multiple-relaxation-time lattice Boltzmann (MRT-LB) model for d-dimensional coupled Burgers' equations is developed. We first adopt the Cole-Hopf transformation where an intermediate variable θis introduced to eliminate the nonlinear convection terms in the Burgers' equations on the velocity u=(u_1,u_2,...,u_d). In this case, a diffusion equation on the variable θcan be obtained, and particularly, the velocity u in the coupled Burgers' equations is determined by the variable θand its gradient term ablaθ. Then we develop a general MRT-LB model with the natural moments for the d-dimensional transformed diffusion equation and present the corresponding macroscopic finite-difference scheme. At the diffusive scaling, the fourth-order modified equation of the developed MRT-LB model is derived through the Maxwell iteration method. With the aid of the free parameters in the MRT-LB model, we find that not only the consistent fourth-order modified equation can be obtained, but also the gradient term $ ablaθ$ can be calculated locally by the non-equilibrium distribution function with a fourth-order accuracy, this indicates that theoretically, the MRT-LB model for $d$-dimensional coupled Burgers' equations can achieve a fourth-order accuracy in space. Finally, some simulations are conducted to test the MRT-LB model, and the numerical results show that the proposed MRT-LB model has a fourth-order convergence rate, which is consistent with our theoretical analysis.

研究の動機と目的

• 非線形対流と結合性のため通常は困難であるd次元の結合 Burgers' 方程式に対して、高次元かつ安定な格子ボルツマンモデルを開発すること。
• 従来の単一緩和時間および標準的なMRT-LBモデルが有する数値的不安定性と2次精度の制限を克服すること。
• Cole-Hopf変換を活用して非線形系を線形拡散方程式に変換し、解における高次精度を可能にすること。
• 自由な緩和パラメータを有する多重緩和時間格子ボルツマンフレームワークを用いて、解θおよびその勾配∇θの両方で4次空間精度を達成すること。
• さまざまなグリッド解像度と次元（d ≥ 1）において、理論的精度を数値的シミュレーションで検証すること。

提案手法

• d次元の結合 Burgers' 方程式にCole-Hopf変換を適用し、非線形対流項を分離する補助変数θを導入し、系を線形拡散方程式に簡略化する。
• 自然モーメントを用いて、緩和パラメータを独立して制御できる多重緩和時間（MRT-LB）モデルを、変換された拡散方程式に対して構築する。これにより安定性と精度が向上する。
• 拡散スケーリングにおけるMRT-LBモデルから、顕著な有限差分スキームを導出し、元のPDEと整合性を持つことを保証する。
• Maxwell反復法を用いた4次修正方程式解析により、主要な誤差項を導出し、4次精度を達成するための条件を特定する。
• 特定の緩和パラメータの条件を満たす場合、非平衡分布関数を用いて勾配項∇θを4次空間精度で再構築する。
• グリッド解像度を変化させたd次元（d = 1, 2, 3, 4）のシナリオにおいて、収束率を検証するための数値シミュレーションを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cole-Hopf変換を用いて、d次元の結合 Burgers' 方程式に対して4次精度の格子ボルツマンモデルを構築可能か？
• RQ2 MRT-LBフレームワークは、適切な緩和パラメータの調整により、解θおよびその勾配∇θの両方で4次空間精度を達成可能か？
• RQ3 提案モデルは、異なる空間次元（d ≥ 1）およびグリッド解像度においても安定性を維持し、高次収束を達成可能か？
• RQ4 モデルの4次精度は、速度場uのすべての成分および補助変数θのすべての成分において一貫しているか？
• RQ5 非平衡分布関数は、MRT-LBフレームワークにおいて∇θの4次再構築にどのように寄与しているか？

主な発見

• 提案されたMRT-LBモデルは、d = 1～4次元の補助変数θおよび速度場uのすべての成分において、空間で一貫した4次収束率を達成した。
• 数値的シミュレーションにより、さまざまな変数およびグリッド細分化において収束指数が約4.05～4.23の範囲で4次収束率が確認された。
• 緩和パラメータが特定の条件（式37）を満たす場合、非平衡分布関数を用いて勾配項∇θを4次精度で再構築できた。
• モデルは複数の空間次元にわたり安定性と高次精度を維持し、結合非線形PDEへのMRT-LBアプローチの普遍性を示した。
• 4次修正方程式解析により、主要な切り捨て誤差がO(Δx⁴)のオーダーであることが確認され、スキームの理論的精度が裏付けられた。
• グリッド解像度の広い範囲（例：Δx = 0.2 から Δx = 0.025）においても収束率が安定しており、相対L2誤差が予想通りΔx⁴に比例して減少した。