[論文レビュー] A contraction principle in semimetric spaces

Mihály Bessenyei, Zsolt Páles|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2014

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics参考文献 10被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、正則な基本三角関数を備えた完備な半距離空間へとマトコフスキーの縮小原理を拡張し、$φ$-縮小写像の不動点の存在および一意性を証明する。さらに、写像列の各点収束に対する不動点の安定性を確立し、バナッハの不動点定理を$c$-緩和型および$c$-非距離空間など、より広いクラスの空間へ一般化する。

ABSTRACT

A branch of generalizations of the Banach Fixed Point Theorem replaces contractivity by a weaker but still effective property. The aim of the present note is to extend the contraction principle in this spirit for such complete semimetric spaces that fulfill an extra regularity property. The stability of fixed points is also investigated in this setting. As applications, fixed point results are presented for several important generalizations of metric spaces.

研究の動機と目的

• 完備距離空間を超える、より広いクラスの半距離空間へとマトコフスキーの不動点定理を一般化すること。
• 半距離空間における正則性条件を同定すること——特に、原点における基本三角関数の連続性を介して、ハウスドルフ分離性および収束列のコーシー性といった位相的整合性を保証する条件を特定すること。
• このような空間において、$φ$-縮小写像列の各点収束に対する不動点の安定性を確立すること。
• $c$-緩和型および$c$-非距離空間が、正則な半距離空間の特別なケースとしてこの一般化枠組みにどのように適合するかを示し、それらが所望の正則性および完備性条件を満たすかを検証すること。
• 基本三角関数と閉包作用素の冪等性との関係を明確化すること。ただし、これはまだ部分的に未解決のままである。

提案手法

• 集合$X$に、対称的かつ非負の関数$d: X \times X \to \mathbb{R}_+$が定義され、それが対角線上でのみ0に一致するとき、これを半距離空間と定義する。
• 基本三角関数$\Phi_d(u,v) = \sup\{d(x,y) \mid \exists p \in X: d(p,x) \leq u, d(p,y) \leq v\}$を導入し、これを三角不等式の一般化とする。
• 基本三角関数$\Phi_d$が原点で連続である場合、その半距離空間を正則半距離空間と定義する。これにより、位相がハウスドルフ的であり、収束列がコーシー列であることが保証される。
• 任意の$t > 0$に対して、$\varphi^n(t) \to 0$となる点ごとの収束を満たす比較関数$\varphi: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$を導入し、$d(Tx,Ty) \leq \varphi(d(x,y))$を満たす写像を$\varphi$-縮小写像と定義する。
• 背理法と反復的推定を用いて、完備な正則半距離空間上での任意の$\varphi$-縮小写像に対して、不動点が存在かつ一意であることを証明する。
• 写像列$T_n$が各点収束で$T_0$に収束する場合、$d$の自己連続性を仮定することで、$T_n$の不動点が$T_0$の不動点に収束することを示し、不動点の安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な三角不等式を満たさない半距離空間に対しても、マトコフスキーの不動点定理を拡張できるか？
• RQ2 基本三角関数にどのような正則性条件を課すと、半距離空間の位相がハウスドルフ的であり、かつ収束列がコーシー列であることが保証されるか？
• RQ3 $φ$-縮小写像の列の不動点が、極限写像の不動点に収束するための条件は何か？
• RQ4 $c$-緩和型および$c$-非距離空間は、この一般化枠組みにどのように適合するか。それらは必要な正則性および完備性条件を満たすか？
• RQ5 ハウスドルフな半距離空間において、基本三角関数と閉包作用素の冪等性との関係は何か？

主な発見

• 完備な正則半距離空間上での任意の$φ$-縮小写像は、一意な不動点を持つ。これはマトコフスキーおよびバナッハの不動点定理を一般化する。
• 基本三角関数$\Phi_d$は、$d$のすべての三角関数の中で最適であり、その原点における連続性が正則半距離空間を特徴付ける。
• 正則半距離空間では、収束列は一意な極限を持ち、かつコーシー列を満たす。
• 写像列$T_n$が各点収束で$T_0$に収束し、かつ半距離$d$が自己連続であるならば、$T_n$の不動点は$T_0$の不動点に収束する。
• この結果は、完備な$c$-緩和型距離空間および$c$-非距離空間にも適用可能であり、その場合、基本三角関数は原点で連続である。
• $d$の自己連続性——これは距離空間および超距離空間で成立する——により、極限写像$T_0$は列$T_n$の$φ$-収縮性を保つ。