[論文レビュー] A DG-enhancement of D(QCoh(X)) with applications in deformation theory

Francesco Meazzini|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限次元ノエター的で分離されたスキーム X に対して、その有限アフィン開被覆に関連する環の図式 A· を用いて、導来圏 D(QCoh(X)) の明示的な DG-強化を構成する。任意の準似層 F の導来自己準同型のための3つの明示的モデルを提供し、それらに F の無限小変形を制御する DG-リー代数構造を備える。これは局所的に自由な分解が存在しない場合でも成立する。主な結果として、F の変形函手 Def_F と、自己準同型の DG-リー代数のマウラー＝カルタン函手との同型が確立され、古典的な結果が滑らかでない射影的でない場合にも一般化される。

ABSTRACT

It is well-known that DG-enhancements of D(QCoh(X)) are all equivalent to each other, see [23]. Here we present an explicit model which leads to applications in deformation theory. In particular, we shall describe three models for derived endomorphisms of a quasi-coherent sheaf F on a finite-dimensional Noetherian separated scheme (even if F does not admit a locally free resolution). Moreover, these complexes are endowed with DG-Lie algebra structures, which we prove to control infinitesimal deformations of F.

研究の動機と目的

• 有限次元ノエター的で分離されたスキーム X に対して、導来圏 D(QCoh(X)) の明示的な DG-強化を提供すること。
• 局所的に自由な分解が存在しない場合でも、準似層 F の導来自己準同型複体 ℝHom(F,F) の3つの明示的モデルを構成すること。
• これらのモデルに、F の無限小変形を支配する DG-リー代数構造を備えること。
• F の変形函手 Def_F と、自己準同型の DG-リー代数のマウラー＝カルタン函手との同型を確立することにより、滑らかでない射影的でない場合にも古典的な結果を一般化すること。

提案手法

• X の有限アフィン開被覆のナーヴの添字でインデックスづけられた環の図式 A· を構成し、各単体 α に対して Aα = Γ(Uα, O_X) を割り当てる。
• 弱同値が点ごとの quasi-isomorphism であるような、コフェイブルに生成されたモデル構造を A·-加群の圏 Mod(A·) に導入する。
• 移行写像 gαβ が quasi-isomorphism であるような A·-加群を、図式設定における準似層の一般化として定義する。
• 導来押し出しと引き戻しの構成を用いて、準似層 A·-加群のホモトピー圏と D(QCoh(X)) の間の同型を確立する。
• ℝHom(F,F) の3つのモデルを構成する：A·-加群を介したもの、Thom-Whitney全複体化を介したもの、および存在する場合の局所的に自由な分解を介したもの。
• 導来自己準同型複体に DG-リー代数構造を備え、それがマウラー＝カルタン方程式を通じて F の無限小変形を制御することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさや射影性を仮定しない一般の有限次元ノエター的で分離されたスキーム X に対して、D(QCoh(X)) の明示的な DG-強化を構成できるか？
• RQ2 局所的に自由な分解が存在しない準似層 F の導来自己準同型複体 ℝHom(F,F) をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 導来自己準同型に備わる DG-リー代数構造が、F の無限小変形を制御する役割を果たすのはどのような場合か？
• RQ4 局所的に自由な分解が存在しない場合でも、変形函手 Def_F と、自己準同型の DG-リー代数のマウラー＝カルタン函手との同型が成立するか？
• RQ5 古典的な変形理論的制御（Ext^1 と Ext^2 によるもの）が、この新しいモデルを通じて回復され、一般化されるか？

主な発見

• 準似層 A·-加群のホモトピー圏は D(QCoh(X)) と同型であり、これにより導来圏の明示的 DG-強化が得られる。
• ℝHom(F,F) の3つの明示的モデルが構成される：A·-加群を介したもの、Thom-Whitney全複体化を介したもの、および局所的に自由な分解が存在する場合のもの。
• 導来自己準同型複体には自然な DG-リー代数構造が備わり、F の無限小変形を制御する。
• F が局所的に自由な分解を持たない場合でも、変形函手 Def_F は自己準同型の DG-リー代数のマウラー＝カルタン函手と同型である。
• 古典的な結果 T¹Def_F ≅ Ext¹(F,F) と、Ext²(F,F) における障害が、この枠組みを通じて回復され、一般化される。