[論文レビュー] A hierarchic multi-level energy method for the control of bi-diagonal and mixed n-coupled cascade systems of PDE's by a reduced number of controls

Fatiha Alabau‐Boussouira|Jan 28, 2014

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、n個の結合された双対対角および混合キャスケード系のPDE系に対して、制御数を削減することで正確な可制御性を達成する階層的マルチレベルエネルギー法を提案する。部分的強制性条件の下で、双曲型、熱、シュレーディンガー系について可観測性および可制御性の結果を確立し、次元が2より大きい場合n ≤ 5、1次元では任意のn ≥ 2について、制御領域と結合領域が非重複であっても、零可制御性を証明する。

ABSTRACT

This work is concerned with the exact controllability/observability of abstract cascade hyperbolic systems by a reduced number of controls/observations. We prove that the observation of the last component of the vector state allows to recover the initial energies of all of its components in suitable functional spaces under a necessary and sufficient condition on the coupling operators for cascade bi-diagonal systems. The approach is based on a multi-level energy method which involves $n$-levels of weakened energies. We establish this result for the case of bounded as well as unbounded dual control operators and under the hypotheses of partial coercivity of the $n-1$ coupling operators on the sub-diagonal of the system. We further extend our observability result to mixed bi-diagonal and non bi-diagonal $n+p$-coupled cascade systems by $p+1$ observations. Applying the HUM method, we derive the corresponding exact controllability results for $n$-coupled bi-diagonal cascade and $n+p$-coupled mixed cascade systems. Using the transmutation method for the wave operator, we prove that the corresponding heat (resp. Schrödinger) multi-dimensional cascade systems are null-controllable for control regions and coupling regions which are disjoint from each other and for any positive time for $n \le 5$ for dimensions larger than $2$, and for any $n \ge 2$ in the one-dimensional case. The controls can be localized on a subdomain or on the boundary and in the one-dimensional case the coupling coefficients can be supported in any non-empty subset of the domain.

研究の動機と目的

• 工学的・物理学的応用における実用的でコスト効率の良い応用を背景に、最小限の制御数で複雑なPDE系のキャスケード系を制御するという課題に取り組む。
• 双対対角および混合n+p結合キャスケード系の正確な可観測性および可制御性の必要十分条件を、観測数p+1に限定して確立する。
• 制御領域と結合領域が非重複であっても、変換法を用いて放物型（熱）および分散型（シュレーディンガー）系への可制御性結果を拡張する。
• nレベルにわたりエネルギー推定を段階的に弱める新しいマルチレベルエネルギー法を構築し、最後の成分の観測のみで初期エネルギー全体を回復する。

提案手法

• nレベルの弱化エネルギー推定を用いた階層的マルチレベルエネルギー法を構築し、双対対角系において最後の成分からすべての成分への可観測性を伝播させる。
• 部分的強制性の仮定の下で、下対角に位置する結合作用素の構造を利用した再帰的エネルギー減衰議論に依拠する。
• HUM法を用いて可観測性推定を導出し、制御問題を双対系の可観測性不等式に変換する。
• 放物型およびシュレーディンガー系に対しては、波動作用素に変換法を適用し、双曲型系からの可制御性結果を移行させる。
• 帰納法を用いて、最初のn+q方程式からの可観測性推定を、p+1個の観測を用いた全n+p系へと拡張する。
• 本手法は有界および非有界の制御作用素を扱い、制御領域と結合領域が非重複であっても適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n結合双対対角キャスケードPDE系に対して、1つの制御と最後の成分の観測のみで正確な可制御性が達成可能か？
• RQ2 最後の成分の観測が、すべての成分の初期エネルギーを適切な関数空間で回復できるようにする結合作用素の条件は何か？
• RQ3 双対対角および非双対対角のn+p結合系に対して、p+1個の観測を用いた可観測性および可制御性結果を拡張可能か？
• RQ4 制御領域と結合領域が非重複であっても、熱およびシュレーディンガー系の零可制御性は可能か？
• RQ5 制御領域と結合領域が非重複である多次元設定において、零可制御性が成立する最大の成分数nは何か？

主な発見

• n結合双対対角キャスケード系に対して、結合作用素に関する必要十分条件の下で、最後の成分の観測のみで1つの制御で正確な可制御性が達成される。
• 本手法により、最後の成分の可観測性が、部分的強制性を満たす結合作用素に対しても、適切な関数空間における初期エネルギー全体の回復を保証することが証明された。
• 多次元熱系およびシュレーディンガー系の零可制御性は、1次元では任意のn ≥ 2、次元が2より大きい場合n ≤ 5について、制御領域と結合領域が非重複であっても確立された。
• 変換法により、波動方程式から熱方程式およびシュレーディンガー方程式への可制御性結果の移行に成功し、任意の正の時間で零可制御性が保たれた。
• 本手法により、制御を部分領域または境界上に局在化可能であり、1次元では結合係数が領域の空でない任意の部分集合に支持されてもよい。
• 再帰的帰納法により、最初のn+q成分からの推定を拡張し、p+1個の観測を用いた混合n+p結合系の可観測性が確立された。