[論文レビュー] A Local Resolution of the Problem of Time. VII. Constraint Closure

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 53被引用数 11

ひとこと要約

本論文は、一般共変理論における時空的・配置的関係主義の枠組み内で制約閉包を一貫して扱うために、ディラック法の修正版であるTRi-Dirac法を導入する。ラグランジュ乗数の代わりに循環微分を用い、微分ハミルトニアンおよび反ラウティアンを採用することで、背景独立性と整合する制約代数的構造を保証し、関係的アプローチにより制約閉包問題を解決する。

ABSTRACT

We now set up Constraint Closure in a manner consistent with Temporal and Configurational Relationalism. This requires modifying the Dirac Algorithm - which addresses the Constraint Closure Problem facet of the Problem of Time piecemeal - to the TRi-Dirac Algorithm. This is a member of the wider class of Dirac-type algorithms that enjoys the property of being Temporal Relationalism implementing (TRi). Constraint algebraic structures ensue. We include examples of types of constraint, outcomes of the Dirac Algorithm and different kinds of Constraint Closure Problems. Enough new Principles of Dynamics is required to support this venture that an Appendix on it is provided: differential Hamiltonians, anti-Routhians, and the brackets, state spaces and morphisms corresponding to these.

研究の動機と目的

• 一般共変理論における制約閉包問題を、時空的・配置的関係主義と整合的に解決すること。
• 標準ディラック法を、背景独立性を保つ新しいアルゴリズム的構造を用いて関係的枠組みへと拡張すること。
• 微分ハミルトニアン、反ラウティアン、混合ポアソン–ペイエルズ括弧を用いて一貫した力学的形式主義を構築すること。
• 関係的制約下でも制約代数的構造が閉じており物理的に意味を持つように保証すること。
• 関係的枠組みと制約閉包を統合する新しいハミルトニアン形式のクラスを通じて、量子重力の原理的基盤を提供すること。

提案手法

• 標準ディラック法の関係的拡張としてTRi-Dirac法を提案し、ラグランジュ乗数の代わりに循環微分を用いることで、時空的・配置的関係主義を保持する。
• 核心的力学的対象として$\pi$-微分ハミルトニアン（$\mbox{\bf d}\partial$ A-Hamiltonian）および$\mbox{\bf d}\partial$-反ラウティアンを導入し、反ラウティアンに対して符号が逆転している。
• 位相空間$Can(\mathfrak{T}^{*}(\mathfrak{q})) \times Point(\mathfrak{g})$上で、正準変数にはポアソン括弧、循環微分にはペイエルズ括弧を組み合わせた混合ポアソン–ペイエルズ括弧構造を採用する。
• $\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-ルジャンドル行列を用いて運動量変化関係の非可逆性を符号化し、特異系における標準ルジャンドル行列の代わりに用いる。
• 制約のためのポーマントー記法を用いて有限系および場の理論的系に適用：$\mathcal{C} := \mathscr{F}\lfloor\mathbf{Q},\mathbf{P}\rfloor$（有限系）および$\mathcal{F}(\underline{x};\mathbf{Q},\mathbf{P})$（場）。
• 方程式の運動は$\mbox{\bf d}\partial\mathbf{Q} = \frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{P}}$、$\mbox{\bf d}\partial\mathbf{P} = -\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{Q}}$、および$\frac{\boldsymbol{\delta}\partial \mathscr{A}}{\boldsymbol{\delta}\partial \mathbf{d}\partial \mathbf{c}} = 0$により導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空的・配置的関係主義を尊重する関係的枠組みで、制約閉包を一貫して実装する方法は何か？
• RQ2 背景独立性を保ちつつ閉包を確保するため、ディラック法にどのような修正が必要か？
• RQ3 微分ハミルトニアンおよび反ラウティアンは、特異系における制約の関係的取り扱いにどのように寄与するか？
• RQ4 混合ポアソン–ペイエルズ括弧は、関係的制約系の位相空間構造において果たす役割は何か？
• RQ5 循環微分は、制約の進化過程で関係的不変性を維持するために、ラグランジュ乗数の代わりにどのように機能するか？

主な発見

• TRi-Dirac法は、ラグランジュ乗数を一切用いず、時空的・配置的関係主義と完全に整合した形で制約閉包を実装することに成功した。
• $\mbox{\bf d}\partial$ A-Hamiltonian形式主義は、標準ハミルトニアンの関係的代替を提供し、制約はラグランジュ乗数ではなく循環微分から導出される。
• 混合ポアソン–ペイエルズ括弧の使用により、正準的および関係的力学と両立され、物理部分空間では標準ポアソン括弧に還元される。
• $\mbox{\bf d}\partial^{-1}$-ルジャンドル行列は、運動量変化関係の非可逆性を正しく符号化し、特異系の一貫した取り扱いを可能にする。
• 制約代数的構造はTRi-Dirac法のもとでも保持され、$\mathcal{C}_{\text{chronos}}$および$\mathcal{S}_{\text{huffle}}$の自己的および相互的第1種類の性質が関係的成否を決定づける。
• ポーマントー記法を用いることで、有限系および場の理論的系を統一的に取り扱えるようになり、制約閉包問題の体系的解析が可能になる。