[論文レビュー] A Projective Surface of Degree Eight with 168 Nodes

Stephan Endraß|ArXiv.org|Jul 19, 1995

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics参考文献 3被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、複素射影3次元空間内の8次代数的曲面を構成し、正確に168個の通常の二重点（ノード）を有することを示し、8次曲面のノード数の最大値μ(8)が168以上であることを実証した。7パラメータのD₈対称な8次曲面族を用い、対称性とコンピュータ代数を用いたSegreの技法を応用することで、D₈ × ℤ₂に不変な剛性曲面を明示的に構成し、168個のノードを確認した。これにより、以前の下界とMiyaukaの上界174との間のギャップが埋まった。

ABSTRACT

The estimate for the maximal number of ordinary double points of a projective surface of degree eight is improved to $168\leqμ(8)\leq 174$ by constructing a projective surface of degree eight with 168 nodes.

研究の動機と目的

• 複素射影空間ℙ³内の8次曲面に存在可能なノード数の最大値μ(8)の既知の下界を向上させること。
• 160を超えるノードを有する8次曲面の明示的例を構成すること。
• このような曲面がD₈対称族に存在することを示し、計算代数幾何学を用いて剛性を証明すること。
• その族内に161〜167個のノードを有する曲面が存在しないことを確認し、その存在を構成によって除外すること。

提案手法

• 8つの平面の積として定義されるD₈不変多項式Pを、それらの28本の交線に2次で消えるように定める。
• x²+y²、z、wにおける4次形式の平方として定義される、7つの自由パラメータを有するD₈不変多項式Qを構成する。
• F = P - Qとして曲面を定義し、一般にはPとQが28本の直線に2次で消えることから112個のノードを有する。
• 対称性をD₈ × ℤ₂に高めるために、c=f=h=0、e=−1という制約を課し、平面4次曲線の商を用いたSegreの技法を可能にする。
• コンピュータ代数（Maple V R3およびMACAULAY）を用いて、候補となる特異点におけるヘッセ行列式を計算し、168個のノードを検証する。
• 補題を適用して、8つの対称性平面E_jまたは直線L以外に追加の特異点が存在しないことを証明し、曲面が正確に168個の孤立ノードを有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間ℙ³内の8次曲面が160個を超えるノードを有できるか。また、その最大値は正確にいくつか？
• RQ2 D₈対称族に168個のノードを有する曲面が存在するか。また、それは剛性を有するか？
• RQ3 反射群による商を用いることで、Segreの技法を適用してこのような曲面を構成できるか？
• RQ4 同じ族内に161〜167個のノードを有する曲面が存在するか。もしあるならば、それらは実現可能か？
• RQ5 ヘッセ行列式と対称性の議論を用いて、対称性平面の外に特異点が存在しないことを厳密に証明できるか？

主な発見

• 構成された8次曲面X₈は正確に168個のノードを有し、μ(8) ≥ 168であることを確認した。
• D. van StratenによるMACAULAYによる計算から、曲面は剛性を有する（モジュライを有しない）ことが判明した。
• 曲面はD₈ × ℤ₂に不変であり、13個のノードを有する4次曲面の8重被覆である。
• 初期の112個に加え、特定の点におけるヘッセ行列式の計算から56個の追加ノードが得られ、合計168個のノードが生じた。
• ノードの軌道に関する補題を用いた背理法により、8つの対称性平面E_jまたは直線L以外に特異点は存在しないことが証明された。
• この曲面族には161〜167個のノードを有する曲面は存在せず、この構成では160と168の間のギャップは埋められないままである。