[論文レビュー] Accuracy of minimal and optimal qubit tomography for finite-length experiments

Alex Ling, Lamas-Linares, Antia+1 more|ArXiv.org|Jul 7, 2008

Quantum Information and Cryptography被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限の光子数を用いた実験的に、1量子ビットおよび2量子ビット状態における最小かつ最適な正の線形作用素値測定（POVM）トモグラフィーの精度を調査している。トレース距離が $ \tilde{D} \sim a/N^{0.5} $ のようにスケーリングすることを示しており、1量子ビットおよび2量子ビット系の両方において、1回のコピーあたり一貫した推定精度を示しており、多項分布統計とポisson的カウント不確実性と整合するべきべき乗則スケーリングである。

ABSTRACT

Practical quantum state tomography is usually performed by carrying out repeated measurements on many copies of a given state. The accuracy of the reconstruction depends strongly on the dimensionality of the system and the number of copies used for the measurements. We investigate the accuracy of an experimental implementation of a minimal and optimal tomography scheme for one- and two-qubit states encoded in the polarization of photons. A suitable statistical model for the attainable accuracy is introduced.

研究の動機と目的

• 有限長実験における光子コピー数が限られた状況下で、最小かつ最適なPOVMに基づく量子状態トモグラフィーの実用的精度を評価すること。
• 1量子ビットおよび2量子ビット状態について、推定誤差（トレース距離で測定）がコピー数 $N$ の増加に伴いどのように減少するかを特定すること。
• 異なる量子ビット系において、状態推定精度が同じスケーリング則に従うかどうかを検証し、リソース推定を予測可能にする。
• 実世界の実験における再構成精度を予測するための多項分布統計とポisson的カウントに基づく統計モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• 実験では、単一光子における偏光符号化量子ビットを用い、Poincaré球上に正四面体を形成する4つの測定結果を持つ最小POVMを実装した。
• 波長板とビームスプリッターを備えた4チャネルの偏光計がPOVMを実行し、光子カウントを4つの検出器に分配してスティーブスパラメータを測定した。
• 測定された光子カウント統計から、装置行列 $B$ を用いた線形逆行列法により状態を再構成した。推定密度行列は $\vec{I} = B \cdot \vec{S}$ から導出された。
• 推定状態と真の状態とのトレース距離を精度指標として用い、統計的安定性を高めるために複数回の実験ランで平均化した。
• 推定誤差の $N$（コピー数）依存性を定量的に評価するため、$ \tilde{D} = a / N^c $ のべき乗則モデルをデータにフィットした。
• 自由パラメータ数（$2^{2n}-1$）によるトレース距離の正規化により、1量子ビットおよび2量子ビット系間での比較が可能になった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小かつ最適なPOVMを用いた量子状態トモグラフィーにおける平均トレース距離は、光子コピー数 $N$ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 純粋状態および偏光なし状態を含む、さまざまな入力状態に対して1量子ビット状態の推定精度は一貫しているか？
• RQ3 分離可能な測定を用いて再構成される2量子ビットエンタングル状態に対しても、トレース距離低減の同じスケーリング則が適用可能か？
• RQ4 多項分布およびポisson的統計モデルが、有限コピー実験における観測された推定不確実性をどれほど正確に予測できるか？

主な発見

• 1量子ビット状態の平均トレース距離 $\tilde{D}$ は $ \tilde{D} \sim a / N^{0.505} $ のようにスケーリングし、指数 $c$ が0.5に近く、カウント統計の議論と整合的である。
• べき乗則モデルのパラメータ $a$ は、完全に偏光しない状態よりも純粋偏光状態でわずかに低く、純粋状態の推定がわずかに良好であることを示している。
• 2量子ビットベル状態では、正規化されたトレース距離 $\tilde{D}_n = \tilde{D}/(2^{2n}-1)$ が1量子ビット状態と同様に $1/\sqrt{N}$ スケーリングに従い、5000コピーで0.01%以内の精度を達成した。
• 実験結果は、多項分布による光子カウントに基づく統計モデルと強く一致しており、そのモデルが推定誤差を予測するのにも適していることを裏付けた。
• これらの結果は、分離可能なPOVMを用いた多量子ビット状態推定精度に普遍的なスケーリング則が存在することを示唆し、任意の系サイズにおけるリソース予測が可能になる。
• 最小かつ最適なPOVMは、すべての1量子ビット状態において一貫した高い精度を達成しており、推定誤差に状態依存のバイアスがないことを示している。