[論文レビュー] Application of the Fourier Method to the Mean-Square Approximation of Iterated Ito and Stratonovich Stochastic Integrals

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、多重フーリエ・レジェンドルおよび三角関数級数展開を用いて、任意の多重度を持つイトおよびストラトノビッチ確率積分の平均二乗近似法を提示する。この手法により、近似誤差を制御可能な正確なおよび近似された平均二乗誤差の表現が得られ、近似誤差が制御可能なイト型確率微分方程式の数値積分が可能になる。

ABSTRACT

The article is devoted to the mean-square approximation of multiple Ito and Stratonovich stochastic integrals in the context of numerical integration of Ito stochastic differential equations. The expansion of multiple Ito stochastic integrals of any arbitrary multiplicity $k$ and expansions of multiple Stratonovich stochastic integrals of 1-4 multiplicities using multiple Fourier-Legendre and multiple trigonometric Fourier series are obtained. The exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation are derived.

研究の動機と目的

• 確率微分方程式（SDE）の数値積分における、任意の多重度を持つ多重イトおよびストラトノビッチ確率積分の平均二乗近似の体系的かつ包括的な手法の開発。
• 既存の近似手法を、イト積分の任意の多重度 k およびストラトノビッチ積分の多重度 1～4 に対応させる拡張。
• 近似の平均二乗誤差の正確なおよび近似された表現を導出することにより、数値スキームにおける誤差制御を可能にする。

提案手法

• 任意の多重度 k に対する多重イト確率積分の表現に、多重フーリエ・レジェンドル級数展開を適用する。
• 多重度 1～4 の多重ストラトノビッチ確率積分の近似に、多重三角関数フーリエ級数を用いる。
• 級数展開に基づいて、近似の平均二乗誤差の正確な表現を導出する。
• 収束解析を適用し、異なる多重度において近似の妥当性と正確性を保証する。
• イト型SDEの数値スキームにフーリエ級数展開を統合し、高次の弱近似法の実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度 k を持つ多重イト確率積分を、フーリエ級数を用いて平均二乗誤差を制御可能な形でどのように近似できるか？
• RQ2 三角関数フーリエ級数展開を用いた場合、多重度 1～4 の多重ストラトノビッチ確率積分の構造と収束特性はどのようになるか？
• RQ3 これらの確率積分のフーリエベース近似における平均二乗誤差の正確なおよび近似された表現は何か？
• RQ4 SDEの数値積分において、フーリエ・レジェンドル級数と三角関数級数は、近似精度および計算効率の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• 本手法により、近似の平均二乗誤差の正確な表現が得られ、イト型SDEの数値解法における誤差の正確な制御が可能になる。
• 任意の多重度 k を持つ多重イト確率積分が、解析的に導出された誤差境界を有する多重フーリエ・レジェンドル級数展開により成功裏に展開された。
• 多重度 1～4 の多重ストラトノビッチ確率積分が、多重三角関数フーリエ級数を用いて正確に近似された。
• 導出された平均二乗誤差の表現により、収束率が保証された高次の弱数値法の構築が可能になった。
• 本手法は、高精度の積分を要する確率的システムのための効率的かつ正確な数値スキームの開発を支援する。