[論文レビュー] Approximations for Monotone and Non-monotone Submodular Maximization with Knapsack Constraints

Ariel Kulik, Hadas Shachnai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、d個の knapsack 制約下におけるサブモジュラ最大化における連続的緩和と離散的近似の間の新しい接続を提示する。期待値による拡張と決定的ラウンディングを活用することで、任意の ε>0 に対して、単調なサブモジュラ関数では (1−e⁻¹−ε)-近似、非単調な関数では (1/4−ε)-近似を達成し、両者とも多項式時間で実行可能である。

ABSTRACT

Submodular maximization generalizes many fundamental problems in discrete optimization, including Max-Cut in directed/undirected graphs, maximum coverage, maximum facility location and marketing over social networks. In this paper we consider the problem of maximizing any submodular function subject to $d$ knapsack constraints, where $d$ is a fixed constant. We establish a strong relation between the discrete problem and its continuous relaxation, obtained through {\em extension by expectation} of the submodular function. Formally, we show that, for any non-negative submodular function, an $α$-approximation algorithm for the continuous relaxation implies a randomized $(α- \eps)$-approximation algorithm for the discrete problem. We use this relation to improve the best known approximation ratio for the problem to $1/4- \eps$, for any $\eps > 0$, and to obtain a nearly optimal $(1-e^{-1}-\eps)-$approximation ratio for the monotone case, for any $\eps>0$. We further show that the probabilistic domain defined by a continuous solution can be reduced to yield a polynomial size domain, given an oracle for the extension by expectation. This leads to a deterministic version of our technique.

研究の動機と目的

• 複数の knapsack 制約下でのサブモジュラ関数の最大化という、離散最適化分野の根本的問題に取り組む。
• d個の knapsack 制約下における単調および非単調なサブモジュラ関数の既存の近似比を改善する。
• 問題の連続的緩和とその離散的対応との間の強い理論的リンクを確立する。
• 性能保証が保証された決定的近似アルゴリズムを開発し、確率的アプローチの限界を克服する。
• 連続的解における確率的領域の複雑性を低減し、多項式時間計算を可能にする。

提案手法

• 離散的サブモジュラ関数を連続的で多次元線形緩和 F に写像するために、期待値による拡張を用いる。
• 連続的緩和に対して α-近似が得られれば、離散問題に対しても (α−ε)-近似が得られることを示す。
• 反復的ラウンディングを適用して、連続的解における分数変数の数を O(log|U|) に削減する。
• 多項式サイズの実現値ドメイン上で決定的ラウンディングを実行し、分数解を妥当な離散解に変換する。
• パイプラインラウンディングおよびドメイン縮小技術を活用して、近似品質を維持しながら妥当性を保証する。
• 連続的近似アルゴリズムと、連続的解値に対して (1−ε) 近似を保証するラウンディング段階を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d個の knapsack 制約下における連続的緩和と離散的サブモジュラ最大化との間に、強い接続を確立できるか？
• RQ2 d個の knapsack 制約下における非単調なサブモジュラ関数に対して、どの程度の近似比が達成可能か？
• RQ3 既存の確率的近似アルゴリズムを、d個の knapsack 制約下におけるサブモジュラ最大化に対して決定的化することは可能か？
• RQ4 近似品質を損なわずに、連続的解における分数変数の数を多項式サイズに削減できるか？
• RQ5 d個の knapsack 制約下における単調なサブモジュラ最大化のための、達成可能な最良の近似比は何か？

主な発見

• 本稿は、連続的緩和と離散的サブモジュラ最大化との間のほぼ最適な接続を確立し、連続的問題に対して α-近似が得られれば、離散的問題に対しても (α−ε)-近似が得られることを示した。
• d個の knapsack 制約下における単調なサブモジュラ関数に対して、任意の ε>0 に対して決定的 (1−e⁻¹−ε)-近似アルゴリズムを達成した。
• d個の knapsack 制約下における非単調なサブモジュラ関数に対して、任意の ε>0 に対して決定的 (1/4−ε)-近似アルゴリズムを提供した。
• 連続的解における分数変数の数を O(log|U|) に削減し、多項式時間の決定的ラウンディングを可能にした。
• 本手法は、d個の knapsack 制約付き最大被覆問題などの特定の問題にも適用可能であり、(1−e⁻¹−ε)-近似アルゴリズムをもたらした。
• ε が固定定数である場合、|U| に関して多項式時間で実行可能であるが、1/ε に関しては指数的であるため、さらなる改善には本質的な複雑性の限界があると考えられる。