[論文レビュー] Aspherical groups and manifolds with extreme properties

Mark Sapir|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、再帰的な組合せ的アーベル的提示を持つ有限生成群が、有限の組合せ的アーベル的提示を持つ有限生成群に埋め込まれることを確立している。デイヴィスの構成を用いることで、4次元の閉じたアーベル的多様体の最初の例が得られ、その基本群は無限大の漸近次元を持ち、ヒルベルト空間への粗い埋め込みが不可能であり、性質Aを満たさず、係数付きバーム＝コンヌ予想に反する。これは幾何的群論および多様体位相幾何学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that every finitely generated group with recursive aspherical presentation embeds into a group with finite aspherical presentation. This and several known facts about groups and manifolds imply that there exists a 4-dimensional closed aspherical manifold $M$ such that the fundamental group $π_1(M)$ coarsely contains an expander, and so it has infinite asymptotic dimension, is not coarsely embeddable into a Hilbert space, and does not satisfy the Baum-Connes conjecture with coefficients. Closed aspherical manifolds with any of these properties were previously unknown.

研究の動機と目的

• 閉じたアーベル的多様体の基本群が無限大の漸近次元をもつ可能性について、G. ユーの未解決問題を解消すること。
• ヒルベルト空間への粗い埋め込みが不可能で、性質Aを満たさない基本群をもつ閉じたアーベル的多様体を構成すること。
• 基本群が係数付きバーム＝コンヌ予想に反する閉じたアーベル的多様体の最初の例を提供すること。
• Higman埋め込み定理を、有限アーベル性を保つ形に拡張し、従来の構成における主要な障害を克服すること。

提案手法

• 自由群の複数のHNN拡大としてのSマシンを用い、有限の組合せ的アーベル的提示を持つ有限生成群を構成する。
• ヴァン・コンペン図におけるハブ構造とバンド接続を精密に制御することで、自明でない球面図形が生じない新たな埋め込み構成を設計する。
• 組合せ的ホモトピー論を用いて、元の群提示がアーベル的であれば、新しい提示における球面図形が自明であることを示す。
• 標準的部分図形による図形の標準形を導入し、埋め込みの単射性と最終提示のアーベル性を証明する。
• デイヴィスの構成を用いて、得られた群を4次元以上で閉じたアーベル的多様体の基本群として実現する。
• 拡張子理論と粗い幾何学を用いて、基本群の極端な幾何的・解析的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じたアーベル的多様体の基本群が無限大の漸近次元をもつことは可能か？
• RQ2 基本群がG. ユーの性質Aを満たさない閉じたアーベル的多様体は存在するか？
• RQ3 閉じたアーベル的多様体の基本群が係数付きバーム＝コンヌ予想に反する可能性は？
• RQ4 Higman埋め込み定理は、提示の有限アーベル性を保つ形に強化可能か？
• RQ5 再帰的提示を持つ群が、非自明な球面図形を生じさせる中心化要素を導入せずに、有限アーベル的提示を持つ有限生成群に埋め込めるか？

主な発見

• 再帰的な組合せ的アーベル的提示を持つ有限生成群は、すべて有限の組合せ的アーベル的提示を持つ有限生成群に埋め込める。
• 4次元の閉じたアーベル的多様体が存在し、その基本群は拡張子を粗く含むため、無限大の漸近次元を持つ。
• この多様体の基本群はヒルベルト空間への粗い埋め込みが不可能であり、性質Aを満たさず、係数付きバーム＝コンヌ予想に反する。
• Sマシンを用いて図形の位相を制御することで、古典的な障害（中心化要素が非自明な球面図形を生じる）を回避した。
• 埋め込みは単射であり、語問題の解法性を保ち、結果として得られる群のデーン関数は超指数的である。
• 構成された多様体の基本群は一般にはマルドナルではないが、今後の研究でマルドナル埋め込みを達成可能である可能性が示唆されている。