[論文レビュー] Biological Modelling with Nonlocal Advection Diffusion Equations

Kevin J. Painter, Thomas Hillen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2023

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology ModelsMedicine被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、細胞の分離、群れ形成、領土行動を含む生物学的集合行動をモデリングするための非局所的移流拡散方程式を提示する。長距離相互作用を反映する積分に基づく移流項を組み込むことで、このフレームワークが構築される。主な貢献は、非局所的PDEを用いて個体レベルの相互作用と集団レベルのパターンを統一的に結びつける数学的アプローチであり、安定性、分岐、存在に関する解析的手法を提供することで、データ駆動型のモデルキャリブレーションと多様な分野間の洞察を可能にする。

ABSTRACT

The employment of nonlocal PDE models to describe biological aggregation and other phenomena has gained considerable traction in recent years. For cell populations, these methods grant a means of accommodating essential elements such as cell adhesion, critical to the development and structure of tissues. For animals, they can be used to describe how the nearby presence of conspecifics and/or heterospecifics influence movement behaviour. In this review, we will focus on classes of biological movement models in which the advective (or directed) component to motion is governed by an integral term that accounts for how the surrounding distribution(s) of the population(s) impact on a member's movement. We recount the fundamental motivation for these models: the intrinsic capacity of cell populations to self-organise and spatially sort within tissues; the wide-ranging tendency of animals towards spatial structuring, from the formations of herds and swarms to territorial segregation. We examine the derivation of these models from an individual level, illustrating in the process methods that allow models to be connected to data. We explore a growing analytical literature, including methods of stability and bifurcation analysis, and existence results. We conclude with a short section that lays out some future challenges and connections to the modelling of sociological phenomena including opinion dynamics.

研究の動機と目的

• 細胞および動物集団における長距離生物学的相互作用を捉える非局所的PDEモデルを統合的に開発すること。
• 個体レベルの移動ルールと集団スケールのパターン（集団形成、群れ形成、領土形成など）を結びつけること。
• 非局所的移流拡散系の安定性、分岐、存在に関する解析的手法を提供すること。
• 逆問題モデリングおよびデータフィッティング技術を用いて、これらのモデルを実証データと結びつけること。
• 生物学的系と意見動態などの社会的現象との間の類似性を強調し、より広範な適用可能性を示すこと。

提案手法

• 個体の分布全体の積分に基づいて移流速度が定義される非局所的移流拡散方程式を定式化し、非局所的感覚を反映する。
• 位置ジャンプ過程とスケーリング極限を用いて、個体ベースモデル（ABM）からPDEを導出することで、観察された移動カーネルと整合性を保つ。
• エネルギー最小化の原理を用いて、ポテンシャル関数W(|r|)から引力的または斥力的相互作用カーネルを導出する。
• 安定性および分岐解析を適用し、集団やクラスタなどのパターン状態が発生する条件を同定する。
• 2つのアプローチを用いてモデルをキャリブレーションする：シミュレーションから得られるパターンを観測された軌道にフィットさせる、または時間系列の位置データに直接移動カーネルをフィットさせる。
• 畳み込み演算子や勾配表現（例：∇(u * (W * f(u)))) などを用いて、PDE形式での非局所的相互作用を表現する数学的道具を活用する。

Figure 1 : Illustration of the models ( 1.2 ) as formulated to describe grouping or herding, i.e. a tendency to move towards and aggregate at areas of higher population density. (Top row) For ( 1.2a ) each individual within the interaction region (dotted circles) generates a local ‘force’ of attract

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的PDEは、細胞接着や動物の群れ形成といった生物学的系における長距離相互作用を効果的にモデリングできるか？
• RQ2 非局所的移流拡散モデルにおいて、集団、群れ、領土などのパターンが自発的に形成される条件は何か？
• RQ3 個体レベルの移動ルールを、生物学的現実性を保ちつつ、非局所的PDEに体系的に変換する方法は何か？
• RQ4 非局所的PDE系の安定性および分岐を解析するための解析的手法は何か？
• RQ5 非局所的PDEモデルはどのように実証データにキャリブレーションできるか？また、異なるキャリブレーション戦略の長所と短所は何か？

主な発見

• 非局所的移流拡散モデルは、積分に基づく相互作用項を用いて、細胞の分離、集団形成、領土形成といった主要な生物学的現象をうまく再現する。
• スケーリング極限を介した個体ベースルールからのモデル導出により、微視的行動と巨視的パターンの整合性が保証される。
• 安定性および分岐解析により、外部の誘導がない状況下でも非局所的相互作用が自発的なパターン形成を引き起こすことが明らかになった。
• 適切な条件下では非局所的PDEの解の存在が確立されており、このフレームワークの数学的妥当性が裏付けられる。
• 2種類の異なるデータフィッティング戦略（パターンベースおよびカーネルベース）を用いてモデルキャリブレーションが可能であるが、最適な推論を実現するためにはこれらの手法の統合が求められる。
• このフレームワークは、生態学的、腫瘍学的、社会学的モデリングの分野を横断する共通の数学的言語を提供し、分野間の相互浸食を促進する。

Figure 2 : (a) Cell-cell adhesion naturally leads to accretion, with cells attaching on contact and forming a cluster or aggregation. (b) Sorting dynamics in adhesive populations, as predicted by the DAH. In a mixture of two distinct cell populations, three principal parameters can be identified: tw