[論文レビュー] Calabi-Yau Threefolds and Moduli of Abelian Surfaces I

Mark Gross, Sorin Popescu|ArXiv.org|Jan 14, 2000

Algebraic Geometry and Number TheoryMathematics被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、正標数の極分類付きアーベル曲面のモジュライ空間に対して双有理的モデルを構成し、特にAlev_6がP^4内の非特異二次曲面と双有理的であることを証明している。Alev_8はP^2上の有理的円柱束と双有理的であり、Alev_10はP^3/Z2×Z2の商と双有理的である。これらの結果により、これらのモジュライ空間の有理性または有理的単射性が確立され、対称行列によって定義される特異な三様体の解消におけるアーベル曲面のファイブレーションを通じて、カラビ＝ヤウ3次元多様体との深い関係が明らかになった。

ABSTRACT

We describe birational models and decide the rationality/unirationality of moduli spaces AA_{d} (and AA^{lev}_{d}) of (1,d)-polarized abelian surfaces (with canonical level structure, respectively) for small values of d. The projective lines identified in the rational/unirational moduli spaces correspond to pencils of abelian surfaces traced on nodal threefolds living naturally in the corresponding ambient projective spaces, and whose small resolutions are new Calabi-Yau threefolds with Euler characteristic zero.

研究の動機と目的

• 小さなdに対してモジュライ空間Alev_dの双有理的幾何を特定すること、特にd = 6, 8, 10について。
• 明示的な双有理的モデルを構築することで、これらのモジュライ空間の有理性または有理的単射性を確立すること。
• P^2-バンドルとしての構造が得られるように、Heisenberg不変性と対称行列のモジュライを用いて、この三様体族の構造を解明すること。
• 対称行列によって定義される特異な三様体の解消として得られるカイラビ＝ヤウ3次元多様体が、(1,d)-極分類付きアーベル曲面のペンキルに現れる仕組みを調査すること。
• ホロックス＝マムフォードの5次曲面や素数のファノ3次元多様体といった既知の例と照らし合わせ、これらのモジュライ空間の幾何を解明すること。
• 高次元のモジュライ空間におけるKodaira次元の決定と、有理的被覆性の理解の基盤を提供すること。

提案手法

• d=8の場合はP^7に含まれる三様体X、d=6の場合はP^4に含まれる三様体Xを、対称行列と線形系を用いて定義し、アーベル曲面を完全交差として含ませる。
• 小解消π: eX → Xの構成により、アーベル曲面ファイブレーションを持つカイラビ＝ヤウ3次元多様体を生成する。
• (1,d)-極分類付きアーベル曲面の斉次イデアルの解析を行い、d=8の場合、イデアルが4つの二次式と16個の三次式によって生成されることを示す。
• Heisenberg不変性と対称行列のモジュライを用いて、このような三様体族がP^2-バンドルをなしており、これがAlev_8の円柱束構造の起源であることを示す。
• P^3におけるZ2×Z2作用を用いた明示的双有理パrametrizationにより、Alev_10をP^3/Z2×Z2の商と同一視する。作用は(x1:x2:x3:x4) ↦ (x4:x3:x2:x1)および(x1:x2:x3:x4) ↦ (x1:−x2:x3:−x4)で与えられ、この商は有理的である。
• 特異な三様体の解消とホロックス＝マムフォードの5次曲面との比較により、カイラビ＝ヤウ構造と特異点型（50個の通常の二重点）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Alev_6はP^4内の非特異二次曲面と双有理的であるか？ その有理性にどのような含意があるか？
• RQ2 Alev_8はP^2上の有理的円柱束として記述可能か？ その構造は、定義する三様体の幾何からどのように生じるか？
• RQ3 Alev_10の双有理的構造は何か？ また、P^3のZ2×Z2商は、そのモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ4 対称行列から得られるカイラビ＝ヤウ3次元多様体は、ホロックス＝マムフォードの5次曲面といった既知の例とどのように関係するか？
• RQ5 これらのカイラビ＝ヤウ3次元多様体の最小モデルのケーラー円錐構造は何か？ そして、ファイブレーションの幾何がどのように反映されるか？

主な発見

• Alev_6はP^4内の非特異二次曲面と双有理的であり、これによりその有理性が確立された。
• Alev_8はP^2上の有理的円柱束と双有理的であり、64個の通常の二重点を持つHeisenberg不変三様体族のP^2-ファイブレーションから生じる。
• Alev_10はP^3/Z2×Z2と双有理的であり、作用は(x1:x2:x3:x4) ↦ (x4:x3:x2:x1)および(x1:x2:x3:x4) ↦ (x1:−x2:x3:−x4)で与えられ、この商は有理的である。
• d=8の三様体X ⊂ P^7は、4つの二次式と16個の三次式の完全交差であり、特異点集合は64個の通常の二重点からなる。
• Xの小解消により、アーベル曲面ファイブレーションを持つカイラビ＝ヤウ3次元多様体が得られ、この解消はホロックス＝マムフォードの5次曲面の2重被覆と同型である。
• 一般のyに対して、三様体W10,yは25個の通常の二重点を持つカイラビ＝ヤウ3次元多様体であり、対称行列によって定義される特異な三様体の分岐なし2重被覆として得られる。