[論文レビュー] Categorical Structures on Bundle Gerbes and Higher Geometric Prequantisation

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 70被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、バンドルゲルベにたいして2ヒルベルト空間のセクションを構成し、高次幾何的量子化のためのカテゴリフィケーションされた前量子構造を提供する。バンドルゲルベの射の圏に加法的、双対的、内部ホム構造を導入することで、有限次元ヒルベルト空間の圏上のrig-加群圏を構築し、2変数随伴を用いてセクションの圏が2ヒルベルト空間をなすことを証明する。また、通常の線束に接続を備えたものへの自然な次元削減が得られる。

ABSTRACT

We present a construction of a 2-Hilbert space of sections of a bundle gerbe, a suitable candidate for a prequantum 2-Hilbert space in higher geometric quantisation. We introduce a direct sum on the morphism categories in the 2-category of bundle gerbes and show that these categories are cartesian monoidal and abelian. Endomorphisms of the trivial bundle gerbe, or higher functions, carry the structure of a rig-category, which acts on generic morphism categories of bundle gerbes. We continue by presenting a categorification of the hermitean metric on a hermitean line bundle. This is achieved by introducing a functorial dual that extends the dual of vector bundles to morphisms of bundle gerbes, and constructing a two-variable adjunction for the aforementioned rig-module category structure on morphism categories. Its right internal hom is the module action, composed by taking the dual of higher functions, while the left internal hom is interpreted as a bundle gerbe metric. Sections of bundle gerbes are defined as morphisms from the trivial bundle gerbe to a given bundle gerbe. The resulting categories of sections carry a rig-module structure over the category of finite-dimensional Hilbert spaces. A suitable definition of 2-Hilbert spaces is given, modifying previous definitions by the use of two-variable adjunctions. We prove that the category of sections of a bundle gerbe fits into this framework, thus obtaining a 2-Hilbert space of sections. In particular, this can be constructed for prequantum bundle gerbes in problems of higher geometric quantisation. We define a dimensional reduction functor and show that the categorical structures introduced on bundle gerbes naturally reduce to their counterparts on hermitean line bundles with connections. In several places in this thesis, we provide examples, making 2-Hilbert spaces of sections and dimensional reduction very explicit.

研究の動機と目的

• バンドルゲルベを用いた高次幾何的量子化のためのカテゴリフィケーションされた前量子フレームワークを構築すること。
• バンドルゲルベのセクションの圏に2ヒルベルト空間構造を定義すること。
• バンドルゲルベの射の圏に加法的、モノイダル的、双対的構造を付与すること。
• 標準的な幾何的量子化を線束上で回復する次元削減関手を確立すること。
• 抽象的枠組みを具体的に実現する明示的な例と構成を提供すること。

提案手法

• バンドルゲルベの射の圏に直和を導入し、それがカルテジアンモノイダルかつアーベル的であることを示す。
• バンドルゲルベの射に対して関手的な双対を構成し、ベクトル束からの双対の拡張を実現する。
• rig-加群構造に対して2変数随伴を定義し、右内部ホムを加群作用とし、左内部ホムをバンドルゲルベ計量と定義する。
• セクションの圏に、有限次元ヒルベルト空間の圏上のrig-加群構造を付与する。
• 2ヒルベルト空間の定義を2変数随伴に基づいて修正し、加群構造および加法的構造と整合性を保つようにする。
• バンドルゲルベ構造をヘルミート線束と接続を備えたものに写像する次元削減関手を適用する。この関手は、カテゴリカルおよび幾何的性質を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次幾何的量子化の文脈において、バンドルゲルベのセクションに対する2ヒルベルト空間はどのように構成可能か？
• RQ2 2ヒルベルト空間構造を支えるために、バンドルゲルベの射の圏に課すべきカテゴリカル構造（加法的、双対的、内部ホム）は何か？
• RQ3 提案された2ヒルベルト空間フレームワークは、次元削減によって標準的幾何的量子化とどのように関係するか？
• RQ4 高次関数のrig-圏（自明なバンドルゲルベの自己準同型）は、セクションの加群構造をどのように組織づけるか？
• RQ5 このフレームワークは、R³や分解可能なバンドルゲルベなどの明示的な例で具体的に実現可能か？

主な発見

• バンドルゲルベのセクションの圏は、標準的直和とテンソル積を備えた有限次元ヒルベルト空間の圏上のrig-加群構造を自然に持つ。
• バンドルゲルベの射の圏がカルテジアンモノイダルかつアーベル的であることが示され、加法的構造の構成が可能になる。
• 自明なバンドルゲルベの自己準同型はrig-圏をなし、一般の射の圏はこのrig-圏上の加群圏である。
• 2変数随伴が構成され、右内部ホムが加群作用を、左内部ホムがバンドルゲルベ計量を定義する。
• 提案された定義に従って、セクションの圏は2ヒルベルト空間の公理を満たす。この定義は2変数随伴を組み込むことで、従来の定式化を一般化する。
• 次元削減関手は、バンドルゲルベの2圏を、接続を備えたヘルミート線束の圏に写像し、低次元における標準的な幾何的構造を回復する。