[論文レビュー] Cohomological approach to asymptotic dimension

Alexander Dranishnikov|ArXiv.org|Aug 9, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有界コホモロジーを用いたコhomologicalアプローチを導入し、漸近的次元を定式化する。特に、有界幾何の性質を持つ有界な漸近的次元をもつ適切な距離空間に対して、標準的な漸近的次元と一致する漸近的コホモロジー次元を定義する。主な貢献は、$X \times \mathbb{R}$ の漸近的次元が $X$ と等しくなる反例を構成し、漸近的モリタ予想を反証することであり、また粗いコホモロジー次元が漸近的次元よりも厳密に小さい例を示している。

ABSTRACT

We introduce the notion of asymptotic cohomology based on the bounded cohomology and define cohomological asymptotic dimension $\as_{\Z} X$ of metric spaces. We show that it agrees with the asymptotic dimension $\as X$ when the later is finite. Then we use this fact to construct an example of a metric space $X$ of bounded geometry with finite asymptotic dimension for which $\as(X imes\R)=\as X$. In particular, it follows for this example that the coarse asymptotic dimension defined by means of Roe's coarse cohomology is strictly less than its asymptotic dimension.

研究の動機と目的

• 次元論における古典的コホモロジー次元に類似した、漸近的次元のコホモロジー的枠組みを構築すること。
• 特に、有限生成群 $\Gamma$ に対して $\operatorname{asdim}(\Gamma \times \mathbb{Z}) = \operatorname{asdim}\Gamma + 1$ が成り立つかどうかという、漸近的次元論における未解決問題を解決すること。
• Roeの粗いコホモロジーの文脈において、漸近的次元と粗いコホモロジー次元の関係を明確にすること。
• 有界幾何の性質を持つ適切な距離空間に対して、$\operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}}X = \operatorname{asdim}X$ が成り立つ条件を確立すること。
• トーショントラクチュアのない有限生成表示可能な群に対して、$\operatorname{asdim}\Gamma = cd(\Gamma)$ が成り立つかどうかを検討すること。

提案手法

• 有界コホモロジーを用いて $\mathbb{Z}$-係数の漸近的コホモロジー次元 $\operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}}X$ を定義する。
• 有界幾何の性質を持つ適切な距離空間で $\operatorname{asdim}X < \infty$ のとき、$\operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}}X = \operatorname{asdim}X$ を証明し、アレクサンドロフの定理の漸近的アナログを確立する。
• 単体複体の列に沿った直接極限を用いて、単体への軽い写像を持つ、大規模なフラクタル的性質を持つ空間 $Y$ を構成する。
• 各次元 $n$ の単体複体 $M_k$ と軽い写像 $\chi_k: M_k \to \Delta^n$ および単体的近似を用いて、反Čech近似を持つ空間 $Y$ を構築する。
• $Y_k$ を $M_k \to M_{k+1,k} \to \cdots$ の直接極限として定義し、写像族 $\{\phi^1_k: Y \to Y_k\}$ が正則な反Čech近似をなすことを示す。
• $Y \times \mathbb{R}$ の漸近的次元が $\operatorname{asdim}(Y \times \mathbb{R}) = \operatorname{asdim}Y = 2$ に等しいことを、メッシュが収縮する写像列を構成し、単体的近似の性質を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界幾何の性質を持つ有界な漸近的次元をもつ適切な距離空間に対して、漸近的モリタ定理 $\operatorname{asdim}(X \times \mathbb{R}) = \operatorname{asdim}X + 1$ は常に成り立つか？
• RQ2 有限の場合に標準的漸近的次元と一致する、漸近的次元のコホモロジー的アプローチを構築できるか？
• RQ3 有界幾何の性質を持つ適切な距離空間の文脈で、漸近的モリタ予想に対する反例は存在するか？
• RQ4 Roeの粗いコホモロジー理論は、ブラウンの代表可能性を満たすか、それとも漸近的次元を正しく表現できないか？
• RQ5 有限生成表示可能な群に対して、$\operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}}\Gamma = \operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}_p}\Gamma$ が成り立つかどうかを示し、$\operatorname{asdim}\Gamma = cd(\Gamma)$ の公式の可能性を支持できるか？

主な発見

• 有界幾何の性質を持つ適切な距離空間で $\operatorname{asdim}X < \infty$ のとき、有界コホモロジーを用いて定義された漸近的コホモロジー次元 $\operatorname{asdim}_{\mathbb{Z}}X$ は、標準的漸近的次元 $\operatorname{asdim}X$ と一致する。これは、アレクサンドロフの定理の漸近的アナログを確立する。
• 反例として、$\operatorname{asdim}(Y \times \mathbb{R}) = \operatorname{asdim}Y = 2$ となる空間 $Y$ を構成し、有界幾何の性質を持つ適切な距離空間において、漸近的モリタ予想が一般には成り立たないことを示している。
• Roeの粗いコホモロジーを用いて定義された粗いコホモロジー次元は、構成された例では漸近的次元よりも厳密に小さいことが示され、これらの不変量の一致が一般には成り立たないことを示している。
• 係数 $F$ が有限のとき、有界コホモロジーは標準的コホモロジーと一致し、$\operatorname{asdim}_F Y = \operatorname{dim}_F Y$ が成り立つ。これは、漸近的設定におけるコホモロジー的公式の可能性を支持する。
• 単体複体の直接極限によって構成された空間 $Y$ は、リーマン数が無限大に近づく正則な反Čech近似を備えており、大規模幾何的構造が確認されている。
• 各 $s_k$ が境界を避ける場合、$Y$ の境界は $S^1$ に同相であり、大規模な位相的構造が明確に定義されている。