[論文レビュー] Coincidence and Common Fixed Point Results for Contraction Type Maps in Partially Ordered Metric Spaces

Hassen Aydi|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2011

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics参考文献 9被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、部分的に順序付けられた距離空間における3つの自己写像について、一般化された収縮条件を満たすものとして、新しい一致点および共通固定点の定理を確立している。収縮は関数 β ∈ S によって制御されており、β(tₙ) → 1 ならば tₙ → 0 を満たす。主な貢献は、適合性、弱増大性、連続性の仮定の下で共通固定点の存在を保証する十分条件の特定であり、理論的結果を応用して、コロラリー2.8を用いて積分方程式系の共通解の存在を示している。

ABSTRACT

We present coincidence and common fixed point results of selfmappings satisfying a contraction type in partially ordered metric spaces. As an application, we give an existence theorem for a common solution of integral equations.

研究の動機と目的

• 部分的に順序付けられた距離空間における3つの自己写像へのゲラクトリー型固定点結果の拡張。
• 写像 f, g, H が共通一致点をもつための条件の確立。
• 適合性、弱増大性、連続性の下で、一意な共通固定点の存在の証明。
• 理論的結果を応用して、積分方程式系の共通解の存在の証明。

提案手法

• 関数 β ∈ S を用いて収縮条件を定義し、β(tₙ) → 1 ならば tₙ → 0 を満たす。
• 写像 f, g, H を用いて反復列 {xₙ} と {yₙ} を構成し、fX ⊆ HX および gX ⊆ HX を満たす。
• H に関する弱増大性を用いて、単調列 {Hxₙ} と {yₙ} を生成する。
• 収縮性と β の性質を用いて、{d(yₙ₊₁, yₙ)} が単調減少であり、0 に収束することを証明する。
• 完備距離空間 (X, d) における {Hxₙ} がコーシー列であることを確立し、したがって収束することを示す。
• 対 {f, H} および {g, H} の連続性と適合性を用いて、極限が共通固定点であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に順序付けられた距離空間上の3つの自己写像 f, g, H が共通一致点をもつための条件は何か？
• RQ2 H に関する弱増大性は、固定点構成における反復列の収束にどのように寄与するか？
• RQ3 関数のクラス S に属する β が、収束性および固定点の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 理論的固定点結果は、積分方程式系の解の存在を証明するために応用可能か？
• RQ5 提案された枠組みにおいて、共通固定点の一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• {d(yₙ₊₁, yₙ)} の列は 0 に収束する。これは、連続する反復点間の距離が消えることを意味する。
• {Hxₙ} の列は完備距離空間 (X, d) においてコーシー列であるため、収束する。
• {Hxₙ} の極限は、fu = gu = Hu を満たす f, g, H の共通固定点である。
• X 内の任意の2つの元が共通の比較可能な元を持つという仮定の下で、共通固定点は一意である。
• 積分方程式への応用により、連続性および収縮条件の下で、C([0, T]) 内に共通解が存在することが示された。
• β(t) = √(log(t² + 1))/t を選ぶと、収縮条件を満たし、コロラリー2.8により f と g の共通固定点が保証される。