[論文レビュー] Complexity for one-dimensional discrete time quantum walk circuits

Aranya Bhattacharya, Himanshu Sahu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元離散時間量子ウォーク（DTQW）のニールセン複雑度を、コインキュービットの混合状態を2キュービット純粋状態に正準的に純化することで調査する。その後、得られたユニタリーエボリューションの複雑度を計算する。その結果、段階的複雑度は時間に比例して線形に増加するが、直接的複雑度は平均深さの周囲を振動する。これは、量子ウォークダイナミクスにおける回路深さと測地的複雑度の間の重要な差異を示している。

ABSTRACT

We compute the complexity for the mixed state density operator derived from a one-dimensional discrete-time quantum walk (DTQW). The complexity is computed using a two-qubit quantum circuit obtained from canonically purifying the mixed state. We demonstrate that the Nielson complexity for the unitary evolution oscillates around a mean circuit depth of $k$. Further, the complexity of the step-wise evolution operator grows cumulatively and linearly with the steps. From a quantum circuit perspective, this implies a succession of circuits of (near) constant depth to be applied to reach the final state.

研究の動機と目的

• 離散時間量子ウォークにおけるニールセンの量子複雑度と実際の量子回路深さの関係を明らかにすること。
• 直接的および段階的エボリューション手法を比較することで、ニールセン複雑度を物理的量子回路にマッピングする際の曖昧さを解消すること。
• 段階的複雑度が回路サイズの累積的増加を反映しているのに対し、直接的複雑度が平均深さの周囲で振動することを示すこと。
• 段階的ユニタリ応答から時間依存有効ハミルトニアンを構築するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• ユニタリ変換を用いて、DTQWコインキュービットの混合状態密度行列を2キュービット純粋状態に正準的に純化する。
• 直接的および段階的エボリューション経路の両方について、ユニタリ群の空間における測地線長を用いてニールセン複雑度を計算する。
• k-局所的演算子（k=1,2,3）の測地線方程式を解き、ユニタリーエボリューション軌道を構築する。
• 段階的ユニタリーエボリューションを用いて、$ H(n) = -i \ln[U_n'] $ を介して時間依存応答関数および有効ハミルトニアンを導出する。
• 1キュービットおよび2キュービットゲートを用いたスケッチ量子回路を実装し、段階的エボリューションを実現する。この回路は一定の深さを持つ。
• 回路からの平均複雑度を、直接的複雑度で観察された振動的挙動と関連付ける。

Figure 1: Comparing the direct and step-wise evolution from an initial state $|\Psi_{I}\rangle$ to $|\Psi_{F}\rangle$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1D DTQWにおける直接的エボリューションと段階的エボリューションの両方で、ニールセン複雑度はどのように振る舞うか？
• RQ2 量子ウォーク実装における回路深さとニールセン複雑度の関係は何か？
• RQ3 段階的ユニタリーエボリューションは、ウォークのダイナミクスを反映する物理的に意味のある時間依存ハミルトニアンを生成できるか？
• RQ4 なぜ直接的複雑度は振動するのに対し、段階的複雑度は時間とともに線形に増加するのか？
• RQ5 測地的複雑度を物理的に一貫した方法で実際の量子回路コンパイルにマッピングすることは可能か？

主な発見

• 段階的ニールセン複雑度はステップ数に比例して線形に増加し、累積的な回路サイズの増加を示している。
• 直接的複雑度は、演算子の局所性（k）に依存する平均深さの周囲を振動する。これは、ウォークエボリューションに内在するランダムネスを示唆している。
• 直接的複雑度の振動的挙動は、ウォークが回路深さとは異なり、単調な複雑度増加を示さないことを示している。
• 段階的エボリューションのスケッチ量子回路は一定の深さであり、段階的経路で観察された平均複雑度と一致している。
• 段階的ユニタリーエボリューションにより、$ H(n) = -i \ln[U_n'] $ を介して時間依存有効ハミルトニアンを再構築可能であり、各タイムステップにおけるゲート応答の分析が可能になる。
• 直接的および段階的複雑度の差異は、特にヒルベルト空間次元が増加する系において、測地的複雑度と実際の回路複雑度の間の根本的な不一致を浮き彫りにしている。

Figure 2: Entanglement of purification (EoP) with steps for canonical purification.