[論文レビュー] Conjectures and results on $x^2$ mod $p^2$ with $4p=x^2+dy^2$

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、中心二項係数と多項式 $f_k^+(x)$ を含む切り捨て超幾何的和について、$p^2$ を法とする予想される合同式を提示する。これらは、特定の $d$ に対して $4p = x^2 + dy^2$ と表される素数の表現と関連している。組合せ的恒等式、$p$-進解析、および類数1の虚二次体との関連を用いて、$p$ の算術および二次形式における関連する $x, y$ に依存する $p^2$ を法とする和の明示的公式を導出する。また、確認された場合と無限級数 $1//pi$ に対しても検証がなされている。

ABSTRACT

Given a squarefree positive integer $d$, we want to find integers (or rational numbers with denominators not divisible by large primes) $a_0,a_1,a_2,\ldots$ such that for sufficiently large primes $p$ we have $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv x^2-2p$ (mod $p^2$) if $4p=x^2+dy^2$ (and $4 mid x$ if $d=1$), and $\sum_{k=0}^{p-1}a_k\equiv 0$ (mod $p^2$) if $(\frac{-d}p)=-1$. In this paper we give a survey of conjectures and results on this topic and point out the connection between this problem and series for $1/π$.

研究の動機と目的

• 中心二項係数と関連する超幾何的項と関連する対称多項式 $f_k^+(x)$ を含む形 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k}$ の $p^2$ を法とする予想される合同式を確立すること。
• これらの和の値が、平方自由な $d$ に対して $4p = x^2 + dy^2$ と表される素数 $p$ の表現と関連することを関連付けること。特に $d \in \{1,2,3,7,11,19,43,67,163\}$ の場合を対象とする。
• 類数1の虚二次体の文脈において、$p$-進手法と指標和を用いて、中心二項係数和の $p^2$ を法とする既知の結果を拡張すること。
• 既知のラマヌジャン型恒等式と一致する予想される $p^2$-合同式を通じて、$1/\pi$ の新しい無限級数を導出・証拠づけること。
• 代数的数論と超幾何級数を結びつける枠組みを通じて、$p^2$ を法とする二項係数和に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• Gross-Koblitzの公式と $p$-進ガンマ関数を用いて、$p$-進合同式の文脈におけるガウス和およびヤコビ和を分析すること。
• 組合せ的恒等式、特に $\binom{n+k}{2k} \equiv \frac{\binom{2k}{k}}{(-16)^k} \pmod{p^2}$ を用いて、デラノワ数と超幾何的和を関連付けること。
• ルジャンドル多項式と母関数を用いて、$\binom{2k}{k}^2 / m^k$ を含む和の合同式を導出すること。
• 指標和とヤコビ和を用いて、$p$ の算術（レジェンドル記号を通じて）と和の構造との関連を結びつけること。
• 中心二項係数和の一般化と二次形式への関連を図るため、対称多項式 $f_k^+(x)$ および $T_k^2(a,b)$ を構成すること。
• 計算的証拠と既知の $1/\pi$ 級数（係数の一致やモジュラー形式の比較を含む）との照合を通じて、予想される合同式の検証を行うこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方自由な $d$ に対して、超幾何的和を $p^2$ を法として $4p = x^2 + dy^2$ の表現の形でどのように表現できるか。
• RQ2 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(x)}{m^k} \mod p^2$ の値と、$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ の類群構造との間の明確な関係は何か。
• RQ3 $f_k^+(x)$ および $T_k^2(a,b)$ を含む予想される $p^2$-合同式から、新しいラマヌジャン型 $1/\pi$ 級数を導出できるか。
• RQ4 合同式における符号や係数は、レジェンドル記号 $\left(\frac{-1}{p}\right)$、$\left(\frac{p}{d}\right)$、$\left(\frac{d}{p}\right)$ にどのように依存するか。
• RQ5 多項式 $f_k^+(x)$ は、中心二項係数和の一般化およびモジュラー形式や複素乗法との関連を図る上で果たす役割は何か。

主な発見

• 素数 $p > 3$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ が成り立ち、$p = x^2 + 13y^2$ かつ $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = 1$ の場合に成立。他の場合に対しても同様の結果が得られる。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{65k + 22}{144^k} \binom{2k}{k} f_k^+(9) \equiv 22p \pmod{p^2}$ が成り立ち、定数項を含む線形合同式が得られる。
• $d = 21$ の場合、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(-7)}{16^k} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ が $p = x^2 + 21y^2$ かつ $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{3}\right) = \left(\frac{p}{7}\right) = 1$ のとき成立。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{8851815k + 1356374}{(-29584)^k} \binom{2k}{k} f_k^+(175) \equiv p(1300495\left(\frac{p}{7}\right) + 55879) \pmod{p^2}$ が成り立ち、一致する無限級数 $\sum_{k=0}^\infty = \frac{1349770\sqrt{7}}{\pi}$ が得られる。
• 和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{312k + 91}{1300^k} \binom{2k}{k} T_k^2(13,13) \equiv 91p \pmod{p^2}$ が成り立ち、$T_k^2$ を用いた和の線形合同式が確認される。
• $m = 144$、$x = 9$、$d = 13$ の場合、和 $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k} f_k^+(9)}{144^k} \equiv 2x^2 - 2p \pmod{p^2}$ が $2p = x^2 + 13y^2$ かつ $\left(\frac{-1}{p}\right) = \left(\frac{p}{13}\right) = -1$ のとき成立。