[論文レビュー] Connecting Spreading and Entanglement in Quantum Walks

Alexandre C. Orthey, Edgard P. M. Amorim|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、1次元離散時間量子ウォークにおける弾道的拡散と漸近的エンタングルメントの間の直接的な解析的関係を確立する。長時間における位置分散およびエンタングルメントの閉形式表現を導出し、局所化状態では漸近的エンタングルメントが期待位置と初期キュービットの極座標角に依存すること、高に拡散した状態では期待位置と量子コインの位相に依存することを示している。

ABSTRACT

We investigate the relation between the ballistic spreading and entanglement between the internal (spin) and external (position) degrees of freedom in one-dimensional discrete time quantum walks. We obtain closed-form expressions for the long-time position variance and asymptotic entanglement of quantum walks whose time evolution is given by any balanced quantum coin, starting from any initial qubit and position states following a delta-like (local) and Gaussian distributions. We find out that the knowledge of long-time expected position together with the polar angle of the initial qubit provide the asymptotic entanglement for local states, while the expected position with the quantum coin phases give it for highly delocalized states.

研究の動機と目的

• 離散時間量子ウォークにおける弾道的拡散とエンタングルメントの関係を理解すること。
• 1次元量子ウォークにおける長時間における位置分散および漸近的エンタングルメントの閉形式表現を導出すること。
• 異なる初期状態分布に対して漸近的エンタングルメントを決定する最小限の初期条件およびコインパラメータのセットを特定すること。

提案手法

• 任意のバランスの取れた量子コインに対して、量子ウォークの時間発展演算子の解析的技法を用いて長時間における漸近的挙動を導出すること。
• 漸近的極限における位置分散およびエンタングルメントエントロピーの閉形式解を用いること。
• デルタ関数型（局所化）およびガウス型（拡散）位置分布を有する初期状態の分析。
• 初期キュービット状態パラメータおよびコインパラメータの関数としてエンタングルメントエントロピーを明示的に計算すること。
• 局所化状態では不変量として期待位置および初期キュービットの極座標角を、拡散状態では期待位置およびコインの位相を特定すること。
• 任意のバランスの取れたコインおよび初期重ね合わせ状態に従うユニタリ時間発展演算子に従う量子ウォークダイナミクスの適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子ウォークにおける漸近的エンタングルメントは、初期状態およびコインパラメータにどのように依存するか？
• RQ2 初期位置状態が局所化されている場合と高に拡散している場合に、長時間におけるエンタングルメントは何かに依存するか？
• RQ3 漸近的エンタングルメントは、期待位置および初期状態とコインの主要パラメータのみから予測可能か？
• RQ4 異なる初期条件において、量子ウォークの全般的な弾道的拡散とエンタングルメントの間には普遍的な関係が存在するか？
• RQ5 量子コインの位相は、拡散した初期状態における漸近的エンタングルメントにどのように影響するか？

主な発見

• 局所化初期状態では、漸近的エンタングルメントは期待位置および初期キュービット状態の極座標角によって完全に決定される。
• 高に拡散した初期状態では、漸近的エンタングルメントは期待位置および量子コインの位相に依存する。
• 任意のバランスの取れた量子コインに対して、長時間における位置分散およびエンタングルメントエントロピーの閉形式表現が導出された。
• 局所化状態では、初期位置分布の幅に依存せず、初期キュービットの極座標角にのみ依存する。
• 拡散状態のエンタングルメントは、量子コインの位相構造に敏感であり、これが漸近的エンタングルメントのレベルを調整する。
• 結果として、量子ウォークにおける輸送特性（弾道的拡散）と量子相関（エンタングルメント）を結ぶ普遍的な構造が明らかになった。